Octagonality conditions in projective and affine planes
Sei \(S\) der Schnittpunkt der verschiedenen Geraden \(p, q\) einer projektiven Ebene und für \(i\in \mathbb{Z}/\mathbb{Z}\cdot 3\) seien \(P_i\in p\setminus \{S\}\), \(Q_i\in q\setminus \{S\}\) insgesamt 6 verschiedene Punkte und \(R_{i+2}\) der jeweilige Schnittpunkt der Geraden \(\overline{P_iQ_{i+1}}\) mit \(\overline{P_{i+1}Q_i}\). In dieser Pappuskonfiguration liegen \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) kollinear, falls die Projektivitätengruppe einer Geraden scharf 3-fach transitiv operiert, eine Eigenschaft, die in Pappusschen Ebenen immer gilt. In dieser Situation läßt die Projektivität \(\pi\), die aus den Projektionen \(\overline{P_1Q_3}\to_{R_1}p\to_{R_3}q\to_{R_1}\overline{P_3Q_1}\to_{S}\overline{P_1Q_3}\) zusammengesetzt ist, die Punkte \(P_1\), \(Q_3\), \(R_2\) fest. Daher ist \(\pi\) auf \(\overline{P_1Q_3}\) die Identität und für je 2 von diesen genannten Fixpunkten verschiedene Punkte \(S_ 1\), \(T_ 1\in \overline{P_1Q_3}\) gilt \(\pi (S_1)=S_1\) und \(\pi (T_1)=T_1\). Diese Gleichheit liefert für das aus den sukzessiven Bildern von \(S_1\), \(T_1\) unter den 4 Projektionsfaktoren von \(\pi\) gebildete 8-Eck einen Schließungssatz (0). Der Verf. gibt in seiner Arbeit eine detaillierte axiomatische Studie solcher projektiven Ebenen, in denen die Oktogonalitätsbedingung (0) erfüllt ist. Hierbei wird nicht nur die universelle Gültigkeit von (0), sondern auch jene bei gegebenen Festelementen in ihrer Auswirkung auf die Struktur der Ebene untersucht. In den wichtigsten Resultaten werden die Beziehungen des Schließungssatzes (0) und seiner Ausartungen zu den klassischen Schliessungssätzen wie Pappus, Desargues, kleiner Desargues und Thomsenbedingung geklärt.
configuration theorems in projective and affine planes
scientific article; zbMATH DE number 4101971