Some characterizing properties of the simplex
In dieser Arbeit werden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür angegeben, daß ein konvexer Körper K im \({\mathbb{R}}_ d\), \(d\geq 2\), ein d-Simplex ist. Der Autor zeigt, daß dies genau dann der Fall ist, wenn entweder: 1. jede Steinersymmetrale von \(K\) ein konvexer Doppelkegel ist; oder wenn 2. für jede Richtung \(u\in S^{d-1}\) für das äußere \((d-1)\)- Quermaß (auch Helligkeit) \(\bar V_{d-1}(K,u)\) für die Länge der längsten Sehne von \(K\) in Richtung \(u\), das sog. innere 1-Quermaß \({\mathcal B}_ 1(K,u)\) und für das Volumen \(V_ d(K)\) von K die Beziehung \(0<\bar V_{d-1}(K,u)\cdot {\mathcal B}_ 1(K,u)=dV_ d(K)\) besteht; oder wenn 3. \(\Pi K\), der Projektionskörper von \(K\) (dieser ist so definiert: Bezeichnet \(h(K,u)\) die Stützfunktion von \(K\), dann ist \(h(\Pi K,u)=\bar V_{d-1}(K,u)\) für alle \(u\in S^{d-1})\), und die Differenzenmenge von \(K\): \(DK=K+(-K)\) polar sind bezüglich der Kugel mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius \(\sqrt{dV_ d(K)}.\) Eine vom Autor formulierte, interessante Vermutung, die besagt: ``Ein konvexes d-Polytop, \(d\geq 3\), hat polare Differenzenmenge und Projektionskörper dann und nur dann, wenn es ein d-Simplex ist'' wurde in der Zwischenzeit von ihm selbst bewiesen.
scientific article; zbMATH DE number 4103865