On the convergence of Newton's method
Sei \(P_ d\) die Menge aller Polynome von Grad d mit komplexen Koeffizienten, deren Nullstellen in der Einheitskreisscheibe liegen. Sei ferner \(\Gamma_ f\) die Menge aller Startpunkte für die das Newtonverfahren zur Lösung \(f(z)=0\) konvergiert. Seien \(B_ 2(0)\) die Kreisscheibe um 0 vom Radius 2, \(A_ f=\mu (\Gamma_ f\cap B_ 2(0))/\mu (B_ 2(0))\) mit zweidimensionalem Lebesgue-Maß \(\mu\) und \(A_ d=\inf_{f\in P_ d}A_ f.\) Bekannt war \(A_ 1=A_ 2=1\). Der Autor zeigt \(A_ d\geq d^{-cd^ 2 \log d}\) für eine positive Konstante c.
scientific article; zbMATH DE number 4106139