Der Beweis des Weierstraßschen Approximationssatzes 1885 vor dem Hintergrund der Entwicklung der Fourieranalysis. (The proof of Weierstraß's approximation theorem (1885) with regard to the development of Fourier analysis)
Der bekannteste Satz der reellen Approximationstheorie und das Fundament der weiteren Entwicklung bildet der Weierstraßsche Approximationssatz (1885), nach dem jede in einem kompakten Intervall reelle stetige Funktion gleichmäßig durch Polynome approximiert werden kann. In Hinblick auf die Bedeutung des Satzes ist die Frage nach der Entstehungsgeschichte und Weierstraß' eigener Einschätzung seines Theorems von besonderem Interesse. Der Autor hat nun eine Quelle entdeckt, mit deren Hilfe er diese Frage beantwortet. Es handelt sich dabei um eine bisher unveröffentlichte Ausarbeitung der Weierstraßschen Vorlesung ``Ausgewählte Kapitel aus der Funktionenlehre'' vom Sommersemester 1886. Die Grundlage dieser Vorlesung, die Weierstraß übrigens nur ein einziges Mal gehalten hat, bildet der Beweis seines Approximationssatzes. Anhand der Vorlesungsausarbeitung und einiger Weierstraßscher Briefe aus diesem Zeitraum gibt der Autor eine ausführliche Antwort auf die obige Frage. Es ist interessant, daß die Ausdehnung des Satzes auf mehrere reelle Veränderliche schon in dieser Vorlesungsausarbeitung vorgenommen ist (ebenso in den später herausgegebenen Werken), jedoch in der Originalveröffentlichung von 1885 fehlt. Im zweiten Teil seiner Veröffentlichung behandelt Weierstraß seinen zweiten, etwas weniger bekannten Approximationssatz, nach dem jede stetige reelle (etwa \(2\pi)\) periodische Funktion gleichmäßig durch trigonometrische Polynome approximiert werden kann. Der Autor beleuchtet diesen Satz vor dem Hintergrund der damaligen Entwicklung der Fourieranalysis, insbesondere im Zusammenhang mit den bekannten Ergebnissen von Paul du Bois-Reymond.
scientific article; zbMATH DE number 4106790