Q1122562
type: Item
instance of: scholarly article
title: Der Beweis des Weierstraßschen Approximationssatzes 1885 vor dem Hintergrund der Entwicklung der Fourieranalysis. (The proof of Weierstraß's approximation theorem (1885) with regard to the development of Fourier analysis)
zbMATH Open document ID: 0676.01001
DOI: 10.1016/0315-0860(88)90023-7
author: Reinhard Siegmund-Schultze
published in: Historia Mathematica
publication date: 1988-01-01T00:00:00Z
review text: Der bekannteste Satz der reellen Approximationstheorie und das Fundament der weiteren Entwicklung bildet der Weierstraßsche Approximationssatz (1885), nach dem jede in einem kompakten Intervall reelle stetige Funktion gleichmäßig durch Polynome approximiert werden kann. In Hinblick auf die Bedeutung des Satzes ist die Frage nach der Entstehungsgeschichte und Weierstraß' eigener Einschätzung seines Theorems von besonderem Interesse. Der Autor hat nun eine Quelle entdeckt, mit deren Hilfe er diese Frage beantwortet. Es handelt sich dabei um eine bisher unveröffentlichte Ausarbeitung der Weierstraßschen Vorlesung ``Ausgewählte Kapitel aus der Funktionenlehre'' vom Sommersemester 1886. Die Grundlage dieser Vorlesung, die Weierstraß übrigens nur ein einziges Mal gehalten hat, bildet der Beweis seines Approximationssatzes. Anhand der Vorlesungsausarbeitung und einiger Weierstraßscher Briefe aus diesem Zeitraum gibt der Autor eine ausführliche Antwort auf die obige Frage. Es ist interessant, daß die Ausdehnung des Satzes auf mehrere reelle Veränderliche schon in dieser Vorlesungsausarbeitung vorgenommen ist (ebenso in den später herausgegebenen Werken), jedoch in der Originalveröffentlichung von 1885 fehlt. Im zweiten Teil seiner Veröffentlichung behandelt Weierstraß seinen zweiten, etwas weniger bekannten Approximationssatz, nach dem jede stetige reelle (etwa \(2\pi)\) periodische Funktion gleichmäßig durch trigonometrische Polynome approximiert werden kann. Der Autor beleuchtet diesen Satz vor dem Hintergrund der damaligen Entwicklung der Fourieranalysis, insbesondere im Zusammenhang mit den bekannten Ergebnissen von Paul du Bois-Reymond.
Mathematics Subject Classification ID: 01A55
Mathematics Subject Classification ID: 26-03
Mathematics Subject Classification ID: 42-03
zbMATH DE Number: 4106790
zbMATH Keywords: Fourier analysis
zbMATH Keywords: continuous functions
zbMATH Keywords: periodic functions
zbMATH Keywords: Paul du Bois- Reymond
reviewed by: Michael von Renteln
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: 0315-0860(88)90023-7
OpenAlex ID: W1973370155
cites work: Q5509655
cites work: Q5675328
cites work: Q5628053
cites work: Q5550550
cites work: Éléments d'analyse de Karl Weierstrass
cites work: Q5591592
cites work: Q4135801
cites work: Von Riemann zu Lebesgue - zur Entwicklung der Integrationstheorie
cites work: Q5529455
cites work: Über die Wechselwirkungen zwischen der franzoesischen Schule, Riemann und Weierstrass. Eine Übersicht mit zwei Quellenstudien
cites work: Q3682457
cites work: Applications of the Theory of Boolean Rings to General Topology
label: Der Beweis des Weierstraßschen Approximationssatzes 1885 vor dem Hintergrund der Entwicklung der Fourieranalysis. (The proof of Weierstraß's approximation theorem (1885) with regard to the development of Fourier analysis)
description: scientific article; zbMATH DE number 4106790