Evertse theorem in algebraic independence
Sei der reguläre Kettenbruch \([a_ 0;a_ 1,a_ 2,...]\) von \(\omega\) unbeschränkt und bezeichne \(f_{\omega}\) die in \(| z| <1\) durch die Heckesche Reihe \(\sum_{k\geq 1}[k\omega] z^ k\) definierte Funktion. Verf. zeigt hier unter wesentlicher Verwendung der Resultate von \textit{J.-H. Evertse} [Compos. Math. 53, 225-244 (1984; Zbl 0547.10008)] über Summen von S-Einheiten die algebraische Unabhängigkeit von \(f_{\omega}(\alpha_ 1),...,f_{\omega}(\alpha_ n)\) für paarweise verschiedene algebraische \(\alpha_{\nu}\) mit \(0<| \alpha_{\nu}| <1\) für \(\nu =1,...,n\), falls eine der folgenden zusätzlichen Bedingungen erfüllt ist. (i) Es gibt eine natürliche Zahl \(\ell\) und eine streng wachsende Folge \((k_ r)_{r\geq 1}\) natürlicher Zahlen mit \((a_{k_ r})\), \((a_{k_ r-\ell})\to \infty\) bei \(r\to \infty\). (Beispiel: \(\omega =e.)\) (ii): Kein Quotient \(\alpha_{\nu}/\alpha_{\mu}\) mit \(\nu\neq \mu\) ist eine Einheitswurzel. (iii): \(\alpha_ 1,...,\alpha_ n\) erzeugen eine freie multiplikative Gruppe vom Rang 1. \textit{Y. Z. Flicker} [J. Aust. Math. Soc., Ser. A 27, 173-188 (1979; Zbl 0399.10035)] hatte dies unter der Zusatzbedingung \(| \alpha_{\nu}| \neq | \alpha_{\mu}|\) für \(\nu\neq \mu\) bewiesen.
scientific article; zbMATH DE number 4106957