Duality in Bergman spaces.
G\(\subset {\mathbb{C}}^ n\) sei ein beschränktes Gebiet, das durch eine in einer Umgebung \(U\supset \bar G\) gegebene streng plurisubharmonische \(C^ 3\)-Funktion \(\rho\) : \(U\to {\mathbb{R}}\) festgelegt ist: \(G=\{x|\) \(\rho (x)<0\}\). Mit \(``\rho^ s\cdot Lebesgue\)-Maß'' als Maß auf G sei \(L^{p,s}\) der Raum der zugehörigen \(L^ p\)-Funktionen und \(B^{p,s}\) der Teilraum der in G sogar holomorphen Funktionen. Man hat die übliche Bergmannprojektion \(P^ s: L^{2,s}\to B^{2,s}\). Der Autor zeigt: \(P^ s(L^{\infty})=B=Raum\) der in G holomorphen Funktionen deren Gradienten sich gegen den Rand wie O(-1/\(\rho)\) verhalten. Zum Beweis konstruiert er einen geeigneten reproduzierenden Kern und stellt mit dessen Hilfe \(P^ s| L^{\infty}\) neu dar. Die natürliche Dualität zwischen \(L^{1,s}\) und \(L^{\infty}\) induziert dann durch Anwenden von \(P^ s\) eine Dualität zwischen \(B^{1,s}\) und \(B,s\in {\mathbb{R}}\) beliebig. Dieses Hauptergebnis der Arbeit verallgemeinert speziellere, früher bewiesene Aussagen des Autors und anderer.
scientific article; zbMATH DE number 4109358
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