On the rectilinear congruences of Lorentz manifold \([R^ 3,(+,+,-)]\) establishing a mapping between its focal surfaces, preserving the mean curvatures
Im dreidimensionalen Lorentz-Raum (differenzierbare Mannigfaltigkeit \({\mathbb{R}}^ 3\), versehen mit dem Bogenelementquadrat \(ds^ 2=dx^ 2+dy^ 2-dz^ 2)\) sei Q eine hyperbolische Geradenkongruenz. Die Parameterflächen \(u=const\), \(v=const\) seien (ohne Einschränkung) die Torsen von Q; ferner bezeichne \(2\rho\) (u,v) den Abstand der beiden Brennpunkte \(F_ 1(u,v)\), \(F_ 2(u,v)\) auf einer Geraden \(\ell (u,v)\) von Q sowie \(e\cdot du^ 2+2f\cdot du\cdot dv+g\cdot dv^ 2\) die erste Grundform des (regulären) sphärischen Bildes von Q. Die in {\S} 1 gestellte Frage nach jenen Kongruenzen Q, bei denen die mittleren Krümmungen \(H_ 1(u,v)\), \(H_ 2(u,v)\) der beiden Brennflächen von Q in einander entsprechenden Punkten \(F_ 1(u,v)\), \(F_ 2(u,v)\)- evtl. bis auf das Vorzeichen - gleich sind, erweist sich als äquivalent mit einem System zweiter Ordnung von 3 partiellen Differentialgleichungen für die 4 Funktionen e,f,g,\(\rho\) von u,v (Theorem 1,1). Im Spezialfall \(e=g=\phi (u+v)\), \(f=const\neq 0\) ({\S} 2) läßt sich dieses System auf 2 gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung für \(\rho =\rho (t)\) und \(\phi\) (t) mit \(t:=u+v\) reduzieren. Für zwei weitere Spezialfälle \(e=g=f_ 1(\alpha u+\beta v)\neq 0,\) \(f=0\) ({\S} 3) bzw. \(e=\cosh^ 2v\), \(f=0\), \(g=-1\) ({\S} 4) werden alle Lösungen - in Abhängigkeit von gewissen Integrationskonstanten bzw. (in {\S} 4) auch von einer willkürlichen \(C^ 1\)-Funktion \(\phi\) (v) - explizit angegeben.
scientific article; zbMATH DE number 4111471