Theta heights and Kodaira construction
The author proves that in the Kodaira construction a height on the base curve is described by the theta height of the jacobians of the fibres. He make use \ of theta heights as introduced by Bost and David who proved a comparison with Faltings' \ height. Therefore the author's result shows that a suitable effective version of the Shafarevich conjecture (a bound for Faltings' height) implies an effective Mordell. \ He gives a Kodaira construction with effectivity precisions and also provides a comparison between the above height and any given height on the curve. Theorem 3.1. Soient \(K\) un corps de nombres et \(S\) un ensemble fini de places finies de \(K\) contenant les places divisibles par \(2.\) Soit \(g\geq 2\) un entier et posons \(\gamma =4g-2.\) Notons \(B\) l'ouvert de \(\text{Spec }O_{K}\) obtenu en retirant les points correspondant aux places de \(S\) et \(\delta \) la valuation \(2\)-adique de l'exposant du groupe fini \(\text{Pic}(B).\) Soit \(L\) l'extension finie de \(K\) engendrée par toutes les extensions de \(K\) de degré au plus \( 2^{10g-3+\delta }\) non ramifiées en dehors de \(S.\) Alors pour toute courbe \(C\rightarrow K\) propre, lisse, connexe, de genre \(g, \) ayant bonne reduction en dehors de \(S\) et ayant un point rationnel sur \(K,\) il existe une courbe \(C''\) sur \(L\) propre, lisse, connexe et ayant un point rationnel sur \(L;\) un revêtement étale \(\alpha :C''\rightarrow C\times _{K}L\) de degré au plus \(2^{\gamma +1};\) un morphisme \(\pi :X\rightarrow C''\) propre et lisse, dont les fibres sont des courbes géométriquement intègres de genre \(\gamma ,\) qui est une fibration non isotriviale, admet une section \(\sigma :C''\rightarrow X\) et tel que pour tout point fermé \(Q\) de \(C''\) la fibre \(X_{Q}\) a bonne reduction en dehors de l'image réciproque de \(S\) dans les places du corps residuel \(k(Q).\)
scientific article; zbMATH DE number 1375092
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