Approximation by algebraic numbers of bounded degree in the field of formal Laurent series
Es sei \(k\) ein Körper, \(x\) eine Unbestimmte über \(k\) und \(K\) der Körper der formalen Laurentreihen in \(x\) über \(k\). \(K\hat{ }\) sei die zugehörige algebraisch abgeschlossene Vervollständigung des algebraischen Abschlusses von \(K\). Die Verf. überträgt Resultate von \textit{E. Wirsing} [J. Reine Angew. Math. 206, 67-77 (1961; Zbl 0097.03503)] bzw. \textit{H. Davenport} und \textit{W. Schmidt} [Acta Arith. 13, 169-176 (1967; Zbl 0155.09503) und Acta Arith. 14, 209-223 (1968; Zbl 0179.07303)] über die Approximation reeller Zahlen durch algebraische Zahlen mit den folgenden Sätzen auf den Körper \(K\). Satz 1. Es sei \(\xi\in K\) nicht algebraisch von einem Grad \(\leq n\). Dann existiert eine Folge \((\alpha_i) \in K^{\hat{\;}\mathbb{N}}\) algebraischer Zahlen von höchstens \(n\)-tem Grad und streng monoton wachsenden Höhen \(H(\alpha_i)\) mit \[ |\xi- \alpha_i|\ll H(\alpha_i)^{-(n+3)/2}. \] Satz 2. Es sei \(\xi \in K\) nicht algebraisch von einem Grad \(\leq 2\). Dann existiert eine Folge \((\alpha_i)\in K^\mathbb{N}\) algebraischer Zahlen vom Grad \(\leq 2\) und streng monoton wachsenden Höhen \(H(\alpha_i)\) mit \[ |\xi- \alpha_i|\ll H(\alpha_i)^{-3}. \] Die in diesen Sätzen bei dem Vinogradov-Symbol \(\ll\) auftretenden Konstanten hängen nur von \(n\) und \(\xi\) ab.
approximation by algebraic numbers of bounded degree
scientific article; zbMATH DE number 955270