Simultaneous approximation and algebraic independence
Rappelons la notion de mesure d'approximation simultanée (MAS): soit \(\theta= (\theta_1,\dots,\theta_n)\in \mathbb{C}^n\); une application \(\varphi: \mathbb{N}\times [0,+\infty[\to [0,+\infty]\) est une MAS pour \(\theta\) si il existe \(D_0\in\mathbb{N}\) et \(h_0\geq 1\) tels que, pour tout entier \(D\geq D_0\), tout nombre réel \(h\geq h_0\) et tout \(n\)-uplet \((\gamma_1,\dots, \gamma_n)\) de nombres algébriques satisfaisant \([\mathbb{Q}(\gamma_1,\dots, \gamma_n): \mathbb{Q}]\leq D\) et \(\max_i h(\gamma_i)\leq h\), on a \(\max_i|\theta_i- \gamma_i|\geq\exp(- \varphi(D,h))\), où \(h(.)\) est la hauteur logarithmique absolue. Il y a dans ce texte deux thèmes largement indépendants. Le premier thème concerne la façon d'obtenir des MAS pour des familles de nombres liés aux fonctions exponentielle et elliptiques. Il s'agit d'exploiter le théorème du sous-groupe algébrique (version effective) de \textit{M. Waldschmidt} [J. Reine Angew. Math. 493, 61-113 (1997; Zbl 0880.11054)]; ici les AA. explicitent ce théorème dans le cas d'un groupe algébrique de la forme \(\mathbb{G}^{d_0}_a\times \mathbb{G}^{d_1}_m\times E^{d_2}\), où \(E\) est une courbe elliptique d'invariants algébriques (Theorem 5.1) et tous les cas traités sauf un (Theorem 4.1: MAS de \((\pi, \Gamma(1/4))\)) sont obtenus comme corollaires de ce Theorem 5.1. Sous ce théorème du sous-groupe algébrique est donc cachée la ``machine transcendante'', qui utilise principalement deux ingrédients: la technique des déterminants d'interpolation de M. Laurent et les lemmes de zéros pour les groupes algébriques commutatifs de P. Philippon. Bien sûr, l'idée d'obtenir des MAS via les constructions transcendantes associées à la méthode de Gel'fond-Schneider-Baker n'est pas nouvelle; ce qui est nouveau, c'est de proposer un résultat général (le théorème de Waldschmidt (loc. cit.)) ayant vocation à contenir tout ce que l'on sait faire dans le cadre des groupes algébriques commutatifs en matière d'approximation diophantienne (avec quelques nuances: voir le \S 7 de Waldschmidt (loc. cit.)). Comme exemples de MAS obtenues par les AA. notons une MAS de \((a,a^\beta,\dots, a^{\beta^{d-1}})\) où \(a\in \mathbb{C}\setminus\{0\}\) et \(\beta\) est algébrique de degré \(d\geq 2\); une MAS de \((e^\beta,\dots, e^{\beta_n})\) où \((\beta_1,\dots, \beta_n)\) est une famille \(\mathbb{Q}\)-linéairement indépendante de nombres algébriques; une MAS de \((\log \alpha,\alpha^\beta)\) où \(\beta\) est un nombre quadratique et \(\log\alpha\) un logarithme non nul du nombre algébrique \(\alpha\). Le second thème concerne les liens qui existent entre les propriétés d'approximation diophantienne de \(\underline\theta= (\theta_1,\dots, \theta_n)\in \mathbb{C}^n\) et \(t(\underline\theta)= \text{deg tr}_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(\theta_1,\dots, \theta_n)\): que peut-on dire de \(t(\underline\theta)\) lorsque l'on dipose d'une MAS \(\varphi\) de \(\theta\)? Plus précisément, peut-on donner des conditions suffisantes sur \(\varphi\) qui permettent de minorer \(t(\underline\theta)\)? L'idée sous-jacente est que si l'on a une ``bonne'' MAS de \(\underline\theta\) alors \(t(\underline\theta)\) doit être ``grand'' (cela ne fonctionne pas dans l'autre sens: \(t(\underline\theta)\) peut être ``grand'' sans que \(\underline\theta\) possède une ``bonne'' MAS; voir par exemple \textit{M. Waldschmidt} [Transcendence and algebraic independence of Liouville-like numbers, Bull. Greek Math. Soc. (à paraître)]. Les AA. donnent une condition suffisante pour avoir \(t(\underline\theta)\geq 2\) (Corollary 1.2); c'est un corollaire d'un résultat d'approximation obtenu par \textit{D. Roy} et \textit{M. Waldschmidt} [Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 30, No. 6, 753-796 (1997; Zbl 0895.11030)]. Ce résultat d'approximation (théorème 3.2 de l'article précité) complète des résultats antérieurs de E. Wirsing et de A. Durand, il a suscité une série de nouveaux travaux (M. Laurent et D. Roy, P. Philippon, Y. Bugeaud). Ces résultats d'approximation sont liés à la question suivante: étant donné un nombre transcendant \(\theta\), avec quelle précision peut-on approcher \(\theta\) par des nombres algébriques dont on veut contrôler le degré et/ou la hauteur? Le Corollary 1.2 (condition suffisante pour avoir \(t(\underline\theta)\geq 2\)) peut être vu comme une alternative au classique ``critère de Gel'fond''. Mais il est clair que, si l'objectif principal est d'obtenir \(t(\underline\theta)\geq 2\), le passage par une MAS peut être pénalisant en ce sens qu'il oblige à introduire des ``hypothèses techniques'' indésirables (voir un exemple avec le Theorem 2.3). Par ailleurs on ne dispose pas de résultat général donnant une minoration \(t(\underline\theta)\geq k\) (en dehors du cas \(k=2\)). Il existe une conjecture générale de \textit{M. Waldschmidt} [Conjectures for large transcendence degree, Number theory, Conference Graz 1998 (à paraître)] et \textit{P. Philippon} [Approximations algébriques des points dans les espaces projectifs (soumis)], avec un point de vue légèrement différent, annonce des résultats qui devraient pouvoir conduire à \(t(\underline\theta)\geq 3\), \(t(\underline\theta)\geq 4\).
Waldschmidt's algebraic subgroup theorem
scientific article; zbMATH DE number 1185664