Simultaneous approximation and algebraic independence
type: Item
instance of: scholarly article
title: Simultaneous approximation and algebraic independence
zbMATH Open document ID: 0916.11042
DOI: 10.1023/A:1009757810489
author: Damien Roy
author: Michel Waldschmidt
published in: The Ramanujan Journal
publication date: 1999-07-19T00:00:00Z
review text: Rappelons la notion de mesure d'approximation simultanée (MAS): soit \(\theta= (\theta_1,\dots,\theta_n)\in \mathbb{C}^n\); une application \(\varphi: \mathbb{N}\times [0,+\infty[\to [0,+\infty]\) est une MAS pour \(\theta\) si il existe \(D_0\in\mathbb{N}\) et \(h_0\geq 1\) tels que, pour tout entier \(D\geq D_0\), tout nombre réel \(h\geq h_0\) et tout \(n\)-uplet \((\gamma_1,\dots, \gamma_n)\) de nombres algébriques satisfaisant \([\mathbb{Q}(\gamma_1,\dots, \gamma_n): \mathbb{Q}]\leq D\) et \(\max_i h(\gamma_i)\leq h\), on a \(\max_i|\theta_i- \gamma_i|\geq\exp(- \varphi(D,h))\), où \(h(.)\) est la hauteur logarithmique absolue. Il y a dans ce texte deux thèmes largement indépendants. Le premier thème concerne la façon d'obtenir des MAS pour des familles de nombres liés aux fonctions exponentielle et elliptiques. Il s'agit d'exploiter le théorème du sous-groupe algébrique (version effective) de \textit{M. Waldschmidt} [J. Reine Angew. Math. 493, 61-113 (1997; Zbl 0880.11054)]; ici les AA. explicitent ce théorème dans le cas d'un groupe algébrique de la forme \(\mathbb{G}^{d_0}_a\times \mathbb{G}^{d_1}_m\times E^{d_2}\), où \(E\) est une courbe elliptique d'invariants algébriques (Theorem 5.1) et tous les cas traités sauf un (Theorem 4.1: MAS de \((\pi, \Gamma(1/4))\)) sont obtenus comme corollaires de ce Theorem 5.1. Sous ce théorème du sous-groupe algébrique est donc cachée la ``machine transcendante'', qui utilise principalement deux ingrédients: la technique des déterminants d'interpolation de M. Laurent et les lemmes de zéros pour les groupes algébriques commutatifs de P. Philippon. Bien sûr, l'idée d'obtenir des MAS via les constructions transcendantes associées à la méthode de Gel'fond-Schneider-Baker n'est pas nouvelle; ce qui est nouveau, c'est de proposer un résultat général (le théorème de Waldschmidt (loc. cit.)) ayant vocation à contenir tout ce que l'on sait faire dans le cadre des groupes algébriques commutatifs en matière d'approximation diophanti…
Mathematics Subject Classification ID: 11J85
Mathematics Subject Classification ID: 11J82
Mathematics Subject Classification ID: 11J89
Mathematics Subject Classification ID: 11J91
zbMATH DE Number: 1185664
zbMATH Keywords: algebraic approximation
zbMATH Keywords: algebraic independence
zbMATH Keywords: simultaneous approximation
zbMATH Keywords: exponential functions
zbMATH Keywords: elliptic functions
zbMATH Keywords: Waldschmidt's algebraic subgroup theorem
zbMATH Keywords: logarithmic independence
zbMATH Keywords: transcendental methods
zbMATH Keywords: heights
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 1185664