Single variable Bell polynomials
Die Arbeit behandelt die Zerlegung (mod 2) der Bellschen Polynome \[ A_n(x) = \sum_{k=0}^n S(n, k) x^k \] in Faktoren. Die Koeffizienten sind die Stirlingschen Zahlen \[ S(n, k) = \frac1{k!} \sum_{r=0}^k (-1)^{k-r)} \binom{k}{r} r^n. \] Anstelle von \(A_n(x)\) rechnet Verf. mit den Polynomen \(C_n(x) = x^{n+1}A_{n+1}(x^{-1})\), deren Zerlegung (mod 2) von der Zerlegung (mod 2) des Kreisteilungspolynoms \(t^{2n+1} - t^{-1} - 1\) abhängt. Im Satz 1 wird angegeben, wie alle irreduziblen Faktoren (mod 2) von \(C_n(x)\) zu erhalten sind. Als Korollar dieses Satzes ergibt sich Satz 4: Wenn \(p = 2n + 1\) Primzahl ist und 2 primitive Wurzel (mod \(p)\), dann ist \(C_n(x)\) irreduzibel (mod 2) und daher irreduzibel im Körper \(R\) der rationalen Zahlen, Es ist anzunehmen, daß \(x^{-1} A_n(x)\) für alle \(n\ge 2\) in \(R\) irreduzibel ist, was aber Verf nicht allgemein beweisen kann. Weiter folgt aus der Kongruenz \[ t^n C_n (t + t^{-1}) \equiv t^{2n+1} - t^{-1} - 1\pmod 2 \] u. a. Satz 2: Für \(2m+1\mid 2n+1\) ist \(C_m(x)\) ein Faktor (mod 2) von \(C_n(x)\). Schließlich werden auch die Reste der Stirlingschen Zahlen (mod 2) bestimmt: \[ S(n+1, k+1) \equiv \binom{2n-k}{k} \pmod 2. \]
scientific article; zbMATH DE number 3177788