Abstract commutative ideal theory
type: Item
instance of: scholarly article
title: Abstract commutative ideal theory
zbMATH Open document ID: 0111.04104
published in: Pacific Journal of Mathematics
publication date: 1962-01-01T00:00:00Z
review text: Im Jahre 1939 [Ann. Math. (2) 40, 328--338 (1939; Zbl 0020.34304); Trans. Am. Math. Soc. 45, 335--354 (1939; Zbl 0021.10801), Ann. Math. (2) 40, 600--608 (1939; Zbl 0021.21201)] wurde von \textit{M. Ward} und dem Verf. der vorliegenden Arbeit eine neue, verbandstheoretische Diskussion der Idealtheorie der kommutativen Ringe begründet. In der Begründung spielten die sogenannten Hauptelemente eine bedeutende Rolle, aber die damalige Definition dieser Elemente war nicht geeignet dazu, daß man auf Grund dieses Begriffes einen vollständigen Aufbau der abstrakten Idealtheorie geben konnte. In dieser Arbeit gibt der Verf. eine neue Definition für die Hauptelemente, und mit Hilfe des neuen Begriffes gelangt er bis zu einer passenden Formulierung des Krullschen Hauptidealsatzes. Es sei \(L\) ein beschränkter Verband mit einer assoziativen, kommutativen, vereinigungsdistributiven Multiplikation und mit der Operation der Residualbildung (englisch: residuation) versehen; das größte Element \(I\) von \(L\) soll gleichzeitig das Einselement der Multiplikation sein. Ein Element \(M\) of \(L\) heißt ein Hauptelement, falls die Ungleichungen \((A\cap (B:M))\cdot M\geq A\cdot M\cap B\) und \((A\cup B\cdot M):M\leq (A:M)\cup B\) für jedes Paar \(A, B\) aus \(L\) gelten. Es wird gezeigt, daß jedes Hauptideal eines kommutativen Ringes \(R\) ein Hauptelement im Idealverband von \(R\) ist, und in einem Integritätsbereich mit eindeutiger Faktorisation auch die Umkehrung dieser Behauptung richtig ist. Dann wird \(L\) ein Noetherscher Verband genannt, wenn er modular ist, der Maximumbedingung genügt und sich jedes von seinen Elementen als die Vereinigung von Hauptelementen darstellen läßt. (Der Idealverband eines Noetherschen Ringes ist in diesem Sinne ein Noetherscher Verband; ein distributiver Verband ist Noethersch genau dann, wenn er eine endliche Boolesche Algebra ist.) Es wird gezeigt, daß jedes irreduzible Element eines Noetherschen Verbandes primär ist, wobei das Wort ,,primär'' (und…
Mathematics Subject Classification ID: 13A15
Mathematics Subject Classification ID: 06B10
zbMATH DE Number: 3179538
zbMATH Keywords: noetherian lattice
zbMATH Keywords: commutative ideal theory
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: pjm.1962.12.481
OpenAlex ID: W4254225449
DOI: 10.2140/PJM.1962.12.481
author: Robert P. Dilworth
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description: scientific article; zbMATH DE number 3179538