Über eine Klasse modifizierter \(\zeta\)- und \(L\)-Funktionen
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über eine Klasse modifizierter \(\zeta\)- und \(L\)-Funktionen
zbMATH Open document ID: 0436.10022
DOI: 10.1007/BF01223684
published in: Archiv der Mathematik
publication date: 1981-01-01T00:00:00Z
review text: \textit{E. Grosswald} und \textit{F. J. Schnitzer} [Pac. J. Math. 74, 357--364 (1978; Zbl 0348.10029)] haben eine Klasse von Funktionen angegeben, die in der rechten Halbebene die gleiche Nullstellenverteilung wie die Riemannsche \(\zeta\)-Funktion bzw. wie irgendeine Dirichletsche \(L\)-Funktion besitzen. In dieser Arbeit werden Ergebnisse angeführt, die die von Grosswald und Schnitzer verallgemeinern bis zu einer Grenze, die in gewissem Sinne bestmöglich ist. Ferner wird ein explizites Beispiel für eine modifizierte \(\zeta\)-Funktion angegeben, die sich nicht über die imaginäre Achse hinaus analytisch fortsetzen läßt. Ersetzt man in der Eulerschen Produktdarstellung der Riemannschen \(\zeta\)-Funktion \(\zeta(s) = \prod_n (1- p_n^{-s})^{-1}\), \(\Re s > 1\) die gewöhnlichen Primzahlen \(p_n\) durch beliebige reelle Zahlen \(q_n\), so erhebt sich die Frage, wie stark die \(q_n\) von den \(p_n\) abweichen können, damit noch gewisse analytische Eigenschaften für die entsprechend gebildete Funktion \(\zeta^*(s)\) erhalten bleiben. Werden mit \(\pi(x)\) bzw. \(Q(x)\) die Anzahlfunktionen bezeichnet und gilt für jedes \(\varepsilon >0\) \(Q(x) = \pi(x) + O(x^\varepsilon)\), so ist \(\zeta^*(s)\) in \(\Re s > 0\) holomorph bis auf einen einfachen Pol bei \(s=1\) und besitzt in \(\Re s > 0\) exakt die gleiche Nullstellenverteilung wie die Riemannsche \(\zeta\)-Funktion. Ein entsprechendes Resultat läßt sich auch für \(L\)-Funktionen beweisen.
Mathematics Subject Classification ID: 11N80
Mathematics Subject Classification ID: 11M41
zbMATH DE Number: 3679928
zbMATH Keywords: modified zeta-function
zbMATH Keywords: modified L-function
zbMATH Keywords: distribution of zeros
author: Helmut Müller
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q5335427
cites work: Q5799604
cites work: A class of modified \(\zeta\) and \(L\)-functions
cites work: The analytic continuation of Euler products with applications to asymptotic formulae
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf01223684
OpenAlex ID: W2912147997
description: scientific article; zbMATH DE number 3679928