Some asymptotic formulas on generalized divisor functions. II
Im Anschluß an ihre Arbeit ``Some asymptotic formulas on generalized divisor functions. I'', die im Turán-Gedenkband der Ungarischen Akademie der Wissenschaften erscheinen wird, beschäftigen sich die Verfasser nochmals mit der Aufgabe, für Teilmengen \(A\subset\mathbb N\) die Größenordnung von \(D_A(x)=\max_{1\leq n\leq x}\tau A(n)\), wobei \(\tau A(n)=\sum_{d| n,d\in A}1\) ist, mit Hilfe der Funktion \(f_A(x)=\sum_{a\leq x,a\in A}\frac{1}{a}\) abzuschätzen, was wegen \(\sum_{n\leq x}\tau A(n)=x\cdot f_A(x)+O(x)\) natürlich erscheint. Die Verfasser zeigen (Theorem 2) \[ \varlimsup_{x\to\infty}D_A(x)\cdot\exp\{-(\frac{e}{16}-\varepsilon)\cdot\log^2f_A(x)\}=\infty, \] falls \(f_A(x)\to\infty\) geht. Dieses Ergebnis ist in einem gewissen Sinne bestmöglich, denn es gibt (Theorem 3) eine Menge \(A\subset\mathbb N\) der Dichte 1, für alle die \[ \varlimsup_{x\to\infty}D_A(x)\cdot\exp\{-(\frac{1}{2}+\varepsilon)\cdot\log^2f_A(x)\}=0\tag{*} \] ist. In Satz 5 wird sogar die Existenz einer Folge \(A\) nachgewiesen, für welche die Beziehung (*) mit der Konstanten \((\frac{e}{8}+\varepsilon)\) an Stelle von \((\frac{1}{2}+\varepsilon)\) richtig ist. [Dies gibt eine Antwort auf eine in der eingangs zitierten Arbeit der Verfasser geäußerten Vermutung.] In die Beweise gehen unter anderem ein: eine obere Abschätzung der Anzahl \(\#\{n\leq x; \omega^+(n,y)\leq t\}\) (mit \(\omega^+(n,y)=\#\{p|n,p>y\}\)) und die von \textit{K.K.Norton} [Ill. J. Math. 20, 681-705 (1976; Zbl 0329.10035)] stammende Abschätzung \[ \# \{n\leq x, \sum_{p|n, p\in E} 1>\alpha\cdot E(x)\}\leq c\cdot x\cdot\exp\{(\alpha-1-\alpha\log\alpha)E(x)\}, \] in welcher \(\alpha\geq 1\) ist und \(E(x)\) für \(\sum_{p\leq x,p\in E}\frac{1}{p}\) steht.
scientific article; zbMATH DE number 3767780
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