Lower bounds for packing densities
type: Item
instance of: scholarly article
title: Lower bounds for packing densities
zbMATH Open document ID: 0773.52012
DOI: 10.1007/BF01903681
author: Robert Connelly
author: Károly Bezdek
published in: Acta Mathematica Hungarica
publication date: 1992-06-28T00:00:00Z
review text: Eine Lagerung konvexer Körper im \(E^ n\) heißt kompakt, wenn jeder Körper \(A\) von allen anderen Körpern \(B_ i\), die er berührt, ganz umschlossen wird, d.h. wenn \(A\) in einer beschränkten Zusammenhangskomponente von \(E^ n\backslash\cup B_ i\) liegt. \textit{L. Fejes-Tóth} [Stud. Sci. Math. Hung. 19, 103--107 (1984; Zbl 0568.52008)], \textit{A. Bezdek}, \textit{K. Bezdek} und \textit{K. Böröczky} [Stud. Sci. Math. Hung. 21, 343--346 (1986; Zbl 0633.52013)] haben untere Schranken für die Dichte spezieller kompakter Lagerungen gefunden, die hier verallgemeinert werden. 1. Satz: Für kompakte Lagerungen von homothetischen zentralsymmetrischen Körpern mit beschränkten Volumenverhältnissen im \(E^ n\) ist die Dichte \(d\geq{n+1\over 2n}\). Im 2. Satz wird die Zentralsymmetrie fallen gelassen, aber die Körper müssen immer noch homothetisch oder homothetisch nach Zentralspiegelung sein. Für solche Lagerungen mit beschränkten Flächenverhältnissen in der Ebene gilt \(d\geq{1\over 2}\). Für höhere Dimensionen bleibt die Frage offen. Für Dimensionen \(d>2\) ist Kompaktheit eine sehr einschränkende Bedingung. Es gibt z.B. keine kompakten Lagerungen von streng konvexen Körpern (wo jeder Randpunkt ein Extrempunkt ist). Die Autoren schlagen deshalb, zumindest für zentralsymmetrische Körper, den Begriff einer triangulierten Lagerung vor: Jeder Körpermittelpunkt ist die Ecke eines Simplizialkomplexes, in dem zwei Ecken genau dann durch eine Kante verbunden sind, wenn sich die entsprechenden Körper berühren (allerdings sind Kugellagerungen immer noch ausgeschlossen). Im 3. Satz beweisen sie, daß für triangulierte Lagerungen homothetischer zentralsymmetrischer Körper mit beschränkten Volumenverhältnissen \(d\geq{n+1\over 2^ n}\), und daß diese Schranke für gitterförmige Lagerungen kongruenter Körper verwirklicht wird. Dank Ergebnissen von \textit{H. Hadwiger} [Arch. Math. 8, 212--213 (1957; Zbl 0080.15501)] und \textit{C. A. Rogers} und \textit{G. C. Shephard} [Arch. Math. 8, 220…
Mathematics Subject Classification ID: 52C17
zbMATH DE Number: 39049
zbMATH Keywords: packing of homothetic bodies
zbMATH Keywords: compact packing
zbMATH Keywords: triangulated packing
zbMATH Keywords: lower bounds for packing densities
reviewed by: Jonathan Schaer
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q3771137
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full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf01903681
OpenAlex ID: W2031952516
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description: scientific article; zbMATH DE number 39049