Lower bounds for packing densities
Eine Lagerung konvexer Körper im \(E^ n\) heißt kompakt, wenn jeder Körper \(A\) von allen anderen Körpern \(B_ i\), die er berührt, ganz umschlossen wird, d.h. wenn \(A\) in einer beschränkten Zusammenhangskomponente von \(E^ n\backslash\cup B_ i\) liegt. \textit{L. Fejes-Tóth} [Stud. Sci. Math. Hung. 19, 103--107 (1984; Zbl 0568.52008)], \textit{A. Bezdek}, \textit{K. Bezdek} und \textit{K. Böröczky} [Stud. Sci. Math. Hung. 21, 343--346 (1986; Zbl 0633.52013)] haben untere Schranken für die Dichte spezieller kompakter Lagerungen gefunden, die hier verallgemeinert werden. 1. Satz: Für kompakte Lagerungen von homothetischen zentralsymmetrischen Körpern mit beschränkten Volumenverhältnissen im \(E^ n\) ist die Dichte \(d\geq{n+1\over 2n}\). Im 2. Satz wird die Zentralsymmetrie fallen gelassen, aber die Körper müssen immer noch homothetisch oder homothetisch nach Zentralspiegelung sein. Für solche Lagerungen mit beschränkten Flächenverhältnissen in der Ebene gilt \(d\geq{1\over 2}\). Für höhere Dimensionen bleibt die Frage offen. Für Dimensionen \(d>2\) ist Kompaktheit eine sehr einschränkende Bedingung. Es gibt z.B. keine kompakten Lagerungen von streng konvexen Körpern (wo jeder Randpunkt ein Extrempunkt ist). Die Autoren schlagen deshalb, zumindest für zentralsymmetrische Körper, den Begriff einer triangulierten Lagerung vor: Jeder Körpermittelpunkt ist die Ecke eines Simplizialkomplexes, in dem zwei Ecken genau dann durch eine Kante verbunden sind, wenn sich die entsprechenden Körper berühren (allerdings sind Kugellagerungen immer noch ausgeschlossen). Im 3. Satz beweisen sie, daß für triangulierte Lagerungen homothetischer zentralsymmetrischer Körper mit beschränkten Volumenverhältnissen \(d\geq{n+1\over 2^ n}\), und daß diese Schranke für gitterförmige Lagerungen kongruenter Körper verwirklicht wird. Dank Ergebnissen von \textit{H. Hadwiger} [Arch. Math. 8, 212--213 (1957; Zbl 0080.15501)] und \textit{C. A. Rogers} und \textit{G. C. Shephard} [Arch. Math. 8, 220--233 (1957; Zbl 0082.15703)] kann dieses Resultat auf triangulierte Lagerungen von translationsgleichen Körpern angewendet werden; dann ist \(d\geq{n+1\over{2n\choose n}}\).
scientific article; zbMATH DE number 39049
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