Almost periodic functions with bounded Fourier exponents
Die Arbeit dient dem Beweis des folgenden Satzes: Sei \(f\) ganz, vom Exponentialtyp \(\sigma\); ferner sei die Einschränkung von \(f\) auf die reelle Achse fastperiodisch im Sinne Bohrs, und die Fourierkoeffizienten \(\lambda_ i\) dieser Einschränkung seien dem Betrag nach \(\leq\sigma\). Falls die Fourierreihe endlich ist, gelte für mindestens einen Index: \(|\lambda_ i|<\sigma\). Dann gibt es ein offenes Intervall auf \(\mathbb{R}\) einer Länge \(>\pi/\sigma\), auf welchem \(f\) keine Nullstellen hat. Der Beweis beruht auf der Wirtingerschen Ungleichung und auf klassischen Ergebnissen über ganze Funktionen vom Exponentialtyp. In einer früheren Arbeit [dass. Journal 154, No. 1, 77-79 (1991; Zbl 0744.46028)] hatte der Verf. ein analoges Ergebnis unter der Annahme bewiesen, daß die ganze Funktion \(f\) die Fouriertransformierte einer Funktion aus \(L_ 2[-\sigma,\sigma]\) ist. Hier zeigt er noch an einem Beispiel, daß die Aussage für Fouriertransformierte von Distributionen, deren Träger in \([-\sigma,\sigma]\) enthalten ist, nicht zutrifft.
scientific article; zbMATH DE number 55702