Asymptotic error estimates for Rayleigh-Ritz-approximations of selfadjoint eigenvalue problems
Es werden asymptotische Fehlerschranken hergeleitet für die Rayleigh- Ritz-Näherungen der Eigenwerte und der Eigenelemente von selbstadjungierten Eigenwertaufgaben, deren Spektren nach unten beschränkt und anfangsdiskret sind. Die Eigenwerte einer solchen Aufgabe seien der Größe nach angeordnet \(\lambda(1)<\lambda(2)<\dots<\lambda(r_ 0)\), wobei \(\lambda(r)\) die Vielfachheit \(k_ r\geq 1\) habe. Es bezeichne \(N_ r=\text{LH}\{\varphi_{(r,1)},\dots,\varphi_{(r,k_ r)}\}\) den zu \(\lambda(r)\) gehörenden Eigenraum mit der angegebenen spezifischen Zählweise der Eigenelemente \(\varphi_{(r,k)}\), \(k=1,\dots,k_ r\), \(r=1,\dots,r_ 0\). Das Rayleigh-Ritz-Verfahren liefert dann für einen \(n\)-dimensionalen Approximationsraum \(V^{(n)}\) die Näherungen \(\lambda(r)\leq \Lambda^{(n)}_{(r,1)}\leq \dots\leq \Lambda^{(n)}_{(r,k_ r)}\) zum Eigenwert \(\lambda(r)\) sowie den Näherungsraum \(N_ r^{(n)}:=\text{LH}\{v^{(n)}_{(r,1)},\dots,v^{(n)}_{(r,k_ r)}\}\) zum Eigenraum \(N_ r\). Nach \textit{I. Babuška} und \textit{J. E. Osborn} [SIAM J. Numer. Anal. 24, 1249-1276 (1987; Zbl 0701.65042)] sei die Güte der Diskretisierung beschrieben durch die Approximationsgrößen \[ \varepsilon^{(n)}_{(r,k)}:=\inf_{\varphi \in N_ r,\;| \varphi|=1\atop \varphi\perp v^{(n)}_{(r,i)},\;i=1,\dots,k- 1}\inf_{\chi\in V^{(n)}}|\varphi-\chi|, \] wobei \(| \cdot|\) die Norm des energetischen Hilbertraumes bezeichnet. Dann gilt für \(r\in \{1,\dots,r_ 0\}\), \(k\in \{1,\dots,k_ r\}\) und hinreichend große \(n\in\mathbb{N}\): \(\Lambda^{(n)}_{(r,k)}- \lambda(r)\leq \mu^{(n)}_{(r,k)}[\varepsilon^{(n)}_{(r,k)}]^ 2\), wobei sich der Grenzwert \(\lim_{n\to \infty}\mu^{(n)}_{(r,k)}\) explizit aus dem Spektrum der vorliegenden Aufgabe ergibt, und \[ \inf_{\varphi\in N_ r}| v^{(n)}_{(r,k)}-\varphi|^ 2\leq \nu^{(n)}_ r{\lambda(r+1)\over \lambda(r+1)- \lambda(r)}(\Lambda^{(n)}_{(r,k)}-\lambda(r)), \] wobei \(\lim_{n\to\infty}\nu^{(n)}_ r=1\) und \(\nu^{(n)}_ 1=1\), \(n\in \mathbb{N}\). Damit werden Aussagen über Fehlerschranken von Babuška und Osborn [loc. cit.] auch für solche Eigenwertaufgaben gezeigt, die ein wesentliches Spektrum besitzen.
scientific article; zbMATH DE number 86129
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