On strong Liouville numbers (a problem of P. Erdős)
Eine reelle Irrationalzahl \(x\) heißt strenge Liouville-Zahl (kurz: sLZ), wenn es zu jedem \(n\in\mathbb{N}\) ein \(N=N(n)\) gibt, so daß \(q_{k+1}>q^ n_ k\) für alle \(k>N(n)\) gilt, wobei \(q_ k=q_ k(x)\) den \(k\)-ten Näherungsnenner des regulären Kettenbruchs von \(x\) bedeutet. Jede sLZ ist a fortiori Liouville-Zahl (kurz: LZ). Verf. beweist drei Sätze: (1) Ist \(x\) eine sLZ und \(y\) eine LZ, so ist \(x+y\) (bzw. \(xy)\) entweder rational oder LZ. (Dies Ergebnis beantwortet eine Frage von \textit{P. Erdős} [Mich. Math. J. 9, 59-60 (1962; Zbl 0114.263)] negativ.) (2) Ist \(Q\in\mathbb{N}\backslash\{1\}\) und genügt \((\nu(n))\in\mathbb{N}^ \mathbb{N}\) der Bedingung \(\nu(n+1)\geq 2\nu(n)+2\), so ist \(\sum_{n\geq 1}Q^{-\nu(n)}\) keine sLZ (wohl aber eine LZ, falls \((\nu(n))\) genügend rasch wächst). (3) Ist \(x\in\mathbb{R}_ +\) eine sLZ, so gilt: (i) \(x^ n\) und \(x^{1/n} (n=2,3,\dots)\) sind keine sLZ; (ii) ist \(r=p/q\) mit teilerfremden \(p,q\in\mathbb{N}\) und gibt es unendlich viele \(k\) mit \((q,q_ k)=1=(q,q_{k+1})\) (bzw. mit \((pp_ k,qq_ k)=1=(pp_{k+1},qq_{k+1}))\), so ist \(x\pm r\) (bzw. \(xr)\) keine sLZ. Haupthilfsmittel bei allen Beweisen ist die Theorie der regulären Kettenbrüche. Besonders interessant ist dabei folgende Charakterisierung der sLZ: \(x=[a_ 0;a_ 1,a_ 2,\dots]\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}\) ist sLZ genau dann, wenn es zu jedem \(n\) ein \(N\) gibt, so daß \(a_{k+1}>a^ n_ k\) für jedes \(k>N\) gilt.
scientific article; zbMATH DE number 78092