On the irreducibility of the polynomials \(P(t^ m,Y)\)
Die beiden Hauptergebnisse des Verf. sollten als Irreduzibilitätsresultate für spezialisierte Polynome des Typs \(P(t^ m,Y)\) betrachtet werden und somit als neue Versionen des Hilbertschen Irreduzibilitätssatzes. Ist \(k\) ein Körper der Charakteristik 0 und hängt \(P=P(X,Y)\in\bar k(X)[Y]\) tatsächlich von \(Y\) ab, so sei \(e=e(P)\) die kleinste natürliche Zahl, für die \(P\) eine Wurzel in \(\bar k((X^{1/e}))\) hat. Für beide Ergebnisse einheitlich sei \(K\) ein algebraischer Zahlkörper und \(t\in K^ \times\) keine Einheitswurzel. Satz 1. Ist \(P\in\overline\mathbb{Q}(X)[Y]\) in diesem Ring irreduzibel, so sind äquivalent: (i) \(P(t^ m,y)=0\) hat eine Lösung \(y\in K\) für unendlich viele \(m\in\mathbb{N}\); (ii) es gibt ein \(u\in\mathbb{Z}\), so daß \(P(t^ uX^ e,Y)\) eine Wurzel in \(K(X)\) hat; (iii) \(P\) ist in \(K(X)[Y]\) ein Teiler vom Grad \(e\) eines Polynoms der Form \(A(X,Y)^ e-t^{-u}X\) mit \(A\in K(X)[Y]\) und \(u\in\mathbb{N}\). Interessanter ist Satz 2. Ist \(P\in K(X)[Y]\) in diesem Ring irreduzibel, so sind äquivalent: (i) \(P(t^ m,Y)\) ist für unendlich viele \(m\) reduzibel in \(K[Y]\); (ii) es gibt ein ganzes \(u\), so daß \(P(t^ uX^ e,Y)\) in \(K(X)[Y]\) reduzibel ist; (iii) \(P\) ist in \(K(X)[Y]\) Teiler eines Polynoms der Form \(A(X,Y)^ p-t^{-u}X\) oder \(4A(X,Y)^ 4+t^{- u}X\), wobei \(A\in K(X)[Y]\), \(p\) eine Primzahl und \(u\in\mathbb{N}\) sind.
scientific article; zbMATH DE number 93286
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