When does the Ramer formula look like the Girsanov formula?
type: Item
instance of: scholarly article
title: When does the Ramer formula look like the Girsanov formula?
zbMATH Open document ID: 0762.60029
author: Ofer Zeitouni
author: Moshe Zakai
published in: The Annals of Probability
publication date: 1993-01-17T00:00:00Z
review text: Soit \((B,H,\mathbb{P}_ 0)\) un espace de Wiener abstrait; soit \(\rho\) un paramètre réel appartenant à un ouvert \({\mathcal O}\) et \(T_ \rho(\omega)=\omega+\rho F(\omega)\) une transformation de \(B\) dans \(B\). D'après les travaux de Ramer et Kusuoka il est connu que si: (i) \(I+\rho F(\omega)\) est bijectif en tant qu'opérateur de \(B\) dans \(B\) et que \(F(\omega)\) transforme \(B\) en \(H\), (ii) \(F(\omega)\) possède une dérivée faible dans \(H\), \(\nabla F\) qui est un opérateur de Hilbert-Schmidt de \(H\) dans \(H\) et suffisamment régulière, (iii) \((I_ H+\rho \nabla F(\omega))\) est p.s. un opérateur inversible de \(H\) dans lui-même, alors \(T_ \rho\) et \(T^{-1}_ \rho\) induisent des transformations absolument continues de mesure par rapport à \(\mathbb{P}_ 0\). Notant \(Y(\omega)\) la densité \(dT^{-1}_ \rho(P_ 0)/dP^{(\omega)}_ 0\), les auteurs donnent des conditions nécessaires et suffisantes portant sur \(\nabla F\) pour que, pour tout \(\rho\in{\mathcal O}\), on ait: \[ Y(\omega)=\exp\left(-\rho\delta F-{\rho^ 2\over 2}\langle F,F\rangle_ H\right) \] c'est-à-dire pour que \(Y(\omega)\) prenne la forme obtenue à partir du théorème de Girsanov.
Mathematics Subject Classification ID: 60G30
Mathematics Subject Classification ID: 60H07
Mathematics Subject Classification ID: 47B10
zbMATH DE Number: 97401
zbMATH Keywords: Wiener space
zbMATH Keywords: Girsanov's theorem
zbMATH Keywords: absolute continuity
reviewed by: Jean Mémin
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1214/aop/1176989698
OpenAlex ID: W1967390841
DOI: 10.1214/AOP/1176989698
description: scientific article; zbMATH DE number 97401