When does the Ramer formula look like the Girsanov formula?
Soit \((B,H,\mathbb{P}_ 0)\) un espace de Wiener abstrait; soit \(\rho\) un paramètre réel appartenant à un ouvert \({\mathcal O}\) et \(T_ \rho(\omega)=\omega+\rho F(\omega)\) une transformation de \(B\) dans \(B\). D'après les travaux de Ramer et Kusuoka il est connu que si: (i) \(I+\rho F(\omega)\) est bijectif en tant qu'opérateur de \(B\) dans \(B\) et que \(F(\omega)\) transforme \(B\) en \(H\), (ii) \(F(\omega)\) possède une dérivée faible dans \(H\), \(\nabla F\) qui est un opérateur de Hilbert-Schmidt de \(H\) dans \(H\) et suffisamment régulière, (iii) \((I_ H+\rho \nabla F(\omega))\) est p.s. un opérateur inversible de \(H\) dans lui-même, alors \(T_ \rho\) et \(T^{-1}_ \rho\) induisent des transformations absolument continues de mesure par rapport à \(\mathbb{P}_ 0\). Notant \(Y(\omega)\) la densité \(dT^{-1}_ \rho(P_ 0)/dP^{(\omega)}_ 0\), les auteurs donnent des conditions nécessaires et suffisantes portant sur \(\nabla F\) pour que, pour tout \(\rho\in{\mathcal O}\), on ait: \[ Y(\omega)=\exp\left(-\rho\delta F-{\rho^ 2\over 2}\langle F,F\rangle_ H\right) \] c'est-à-dire pour que \(Y(\omega)\) prenne la forme obtenue à partir du théorème de Girsanov.
scientific article; zbMATH DE number 97401