Hypoellipticity for some infinitely degenerate elliptic operators of second order
type: Item
instance of: scholarly article
title: Hypoellipticity for some infinitely degenerate elliptic operators of second order
zbMATH Open document ID: 0780.35025
author: Tatsushi Morioka
published in: Journal of Mathematics of Kyoto University
publication date: 1993-04-19T00:00:00Z
review text: Cet article concerne le problème de l'hypoellipticité d'opérateurs elliptiques dégénérés du type \[ (1) \quad L=D^ 2_ t+f(t) D^ 2_ x+g(x) D^ 2_ y; \qquad (2) \quad \widetilde {L}= D^ 2_ t+f(t) D^ 2_ x+ g(t,x)D^ 2_ y \] où \(f\) et \(g\) sont des fonctions \(C^ \infty\) satisfaisant les conditions: Dans le cas (1): (3) \(f(0)=g(0)=0\), \(f(t)>0\) si \(t\neq 0\), \(g(x)>0\), si \(x\neq 0\). Dans le cas (2): (4) \(g(t,x)\geq 0\), \(f(0)=0\), \(f(t)>0\) si \(t\neq 0\). Certains résultats ont été obtenus auparavant dans cette direction. L'auteur démontre les deux théorèmes suivants. Théorème 1. Si \(L\), donné par (1), satisfait (3), alors les deux conditions \(\lim_{t\to 0} | t\log f(t)|=0\), \(\lim_{x\to 0} | x\log x|=0\) entraînent l'hypoellipticité de \(L\). Théorème 2. Soit \(\widetilde{L}\), donné par (2) satisfaisant (4). Alors les conditions suivantes: (1) Il existe \(G(t)\) t.q. \(g(t,x)\leq G(t)\), \(G\) vérifiant \(\lim_{t\to 0} \sqrt{G(t)} | t\log f(t)|=0\). (2) \(L\) est hypoelliptiques dans \(\mathbb{R}^ 3\setminus \{(t,x)=(0,0)\}\) entrainent l'hypoellipticité de \(L\). L'auteur utilise la méthode dite d'énergie micro-locale, en estimant des normes dans des espaces de Sobolev d'ordres différents suivant les variables.
Mathematics Subject Classification ID: 35H10
Mathematics Subject Classification ID: 35J60
zbMATH DE Number: 109387
zbMATH Keywords: hypoellipticity
zbMATH Keywords: degenerate elliptic operators of second order
zbMATH Keywords: Sobolev spaces
zbMATH Keywords: microlocal energy method
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1215/kjm/1250519540
OpenAlex ID: W1541367734
DOI: 10.1215/KJM/1250519540
description: scientific article; zbMATH DE number 109387