Newton polyhedron and \(f^ s_ +\) distribution. II
Comme dans la partie I [l' auteurs, J. Anal. Math. 53, 201-218 (1989; Zbl 0693.32003)], \(f\) est une fonction analytique réelle définie sur un voisinage \(V\) de \(O\) dans \(\mathbb{R}^ n\), nulle en \(O\) ainsi que son gradient, et en outre non dégénérée par rapport à son polyèdre de Newton \({\mathcal E}(f)\). On associe à \(f:\) d'une part l'unique rationnel \(\beta<0\) tel que, pour un entier \(k\in[0,n-1]\) convenable et toute \(\varphi\in{\mathcal D}(V)\), \(\int_{\mathbb{R}^ n}\exp[itf(x)]\varphi(x)dx\) soit comparable à \(t^ \beta\ln^ kt\) quand \(t\to+\infty\) [cf. \textit{B. Malgrange}, Ann. Sci. Ec. Norm. Super., IV. Ser. 7(1974), 405-430 (1975; Zbl 0305.32008)]; d'autre part le rationnel \(t_ 0>0\) tel que le point \((t_ 0,\ldots,t_ 0)\) appartienne à la frontière de \({\mathcal E}(f)\). \textit{A. N. Varchenko} [Funct. Anal. Appl. 10(1976), 175-196 (1977); translation from Funkts. Anal. Prilozh. 10, No. 3, 13-38 (1976; Zbl 0351.32011)] a montré qu'on a toujours \(\beta\leq-1/t_ 0\) et, par un exemple très particulier où \(n=5\), que \(\beta<-1/t_ 0\) peut se produire. Les auteurs déterminent une condition suffisante, de caractère géométrique, pour que \(\beta<-1/t_ 0\); celle-ci redonne l'exemple de Varchenko et en donne de nouveaux dès que \(n\geq 4\); par contre, pour \(n=3\), on a toujours l'égalité.
scientific article; zbMATH DE number 126341
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