\(3\)-transposition groups of orthogonal type
Die Verff. setzen vorangehende Untersuchungen [Geom. Dedicata 34, No. 1, 67-87 (1990; Zbl 0735.51013); Proc. Lond. Math. Soc., III. Ser. 58, No. 1, 112-136 (1989; Zbl 0669.20024) und ibid., 89-111 (1989; Zbl 0673.20015)] über 3-Transpositionen Gruppen \(\langle D\rangle\) fort, wobei \(D\) eine Konjugiertenklasse von Involutionen mit \(| \langle d_ 1\cdot d_ 2\rangle|\leq 3\) für alle \(d_ 1,d_ 2\in D\) ist. Hierzu werden \(\langle D\rangle\) zugeordnete Fischer-Räume \((D,\{D \cap \langle d_ 1,d_ 2\rangle \mid d_ 1,d_ 2 \in D,\;| \langle d_ 1\cdot d_ 2\rangle| = 3\})\) betrachtet. Diese Punkt- Geraden Inzidenzstrukturen haben die Eigenschaft, daß auf jeder Geraden genau 3 Punkte liegen und je 2 Punkte höchstens eine Verbindungsgerade besitzen. Die Fischer-Räume entsprechen umkehrbar eindeutig den 3-Transpositionen Gruppen mit trivialem Zentrum. Noch nicht erreichtes Ziel in diesem Forschungsbereich ist die Klassifikation aller Fischer-Räume und aller 3-Transpositionen Gruppen unter denen u.a. die 3 sporadischen Gruppen \(F_{22}\), \(F_{23}\), \(F_{24}\) auftreten. Methodisch werden hierzu die von 2 kopunktalen Geraden erzeugten Ebenen \(\mathcal U\) studiert. Der Fall, daß unter ihnen nicht die affine Ebene \(AG(2,3)\) auftritt, wurde vom 2. Autor [loc. cit.] bereits abgehandelt. In der vorliegenden Arbeit werden 3-Transpositionen Gruppen vom orthogonalen Typ studiert. Bei deren zugeordneter Geometrie kommt unter den Ebenen \(\mathcal U\) die affine Ebene \(AG(2,3)\) vor und für alle Ebenen \(\mathcal U\) und für alle \(d \in D\setminus {\mathcal U}\) ist für den Zentralisator \(C(d)\) von \(d\) die Bedingung \(| C(d) \cap {\mathcal U}| \neq 1\) erfüllt. Existiert zu jeder Geraden \(\ell\) jeder zu \(AG(2,3)\) isomorphen Ebene \(\mathcal U\) ein \(d \in D\) mit \(C(d) \cap {\mathcal U} = \ell\), so beweisen die Verff. in ihrem Hauptresultat, daß \(\langle D\rangle\) modulo ihrem Zentrum zur Gruppe \(^ +P \Omega(V,Q)\) isomorph ist. Hier ist \(V\) ein wenigstens 5-dimensionaler \(\mathbb{F}_ 3\)-Vektorraum, \(Q\) eine nicht ausgeartete quadratische Form auf \(V\) und \(^ +P\Omega(V,Q)\) die von den Spiegelungen an 1-dimensionalen linearen Teilräumen \(\mathbb{F}_ 3 v\) mit \(Q(v) = 1\) in \(PO(V,Q)\) erzeugte Gruppe.
scientific article; zbMATH DE number 130492
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