\(3\)-transposition groups of orthogonal type
type: Item
instance of: scholarly article
title: \(3\)-transposition groups of orthogonal type
zbMATH Open document ID: 0799.20034
DOI: 10.1016/0021-8693(92)90036-L
published in: Journal of Algebra
publication date: 1993-03-28T00:00:00Z
review text: Die Verff. setzen vorangehende Untersuchungen [Geom. Dedicata 34, No. 1, 67-87 (1990; Zbl 0735.51013); Proc. Lond. Math. Soc., III. Ser. 58, No. 1, 112-136 (1989; Zbl 0669.20024) und ibid., 89-111 (1989; Zbl 0673.20015)] über 3-Transpositionen Gruppen \(\langle D\rangle\) fort, wobei \(D\) eine Konjugiertenklasse von Involutionen mit \(| \langle d_ 1\cdot d_ 2\rangle|\leq 3\) für alle \(d_ 1,d_ 2\in D\) ist. Hierzu werden \(\langle D\rangle\) zugeordnete Fischer-Räume \((D,\{D \cap \langle d_ 1,d_ 2\rangle \mid d_ 1,d_ 2 \in D,\;| \langle d_ 1\cdot d_ 2\rangle| = 3\})\) betrachtet. Diese Punkt- Geraden Inzidenzstrukturen haben die Eigenschaft, daß auf jeder Geraden genau 3 Punkte liegen und je 2 Punkte höchstens eine Verbindungsgerade besitzen. Die Fischer-Räume entsprechen umkehrbar eindeutig den 3-Transpositionen Gruppen mit trivialem Zentrum. Noch nicht erreichtes Ziel in diesem Forschungsbereich ist die Klassifikation aller Fischer-Räume und aller 3-Transpositionen Gruppen unter denen u.a. die 3 sporadischen Gruppen \(F_{22}\), \(F_{23}\), \(F_{24}\) auftreten. Methodisch werden hierzu die von 2 kopunktalen Geraden erzeugten Ebenen \(\mathcal U\) studiert. Der Fall, daß unter ihnen nicht die affine Ebene \(AG(2,3)\) auftritt, wurde vom 2. Autor [loc. cit.] bereits abgehandelt. In der vorliegenden Arbeit werden 3-Transpositionen Gruppen vom orthogonalen Typ studiert. Bei deren zugeordneter Geometrie kommt unter den Ebenen \(\mathcal U\) die affine Ebene \(AG(2,3)\) vor und für alle Ebenen \(\mathcal U\) und für alle \(d \in D\setminus {\mathcal U}\) ist für den Zentralisator \(C(d)\) von \(d\) die Bedingung \(| C(d) \cap {\mathcal U}| \neq 1\) erfüllt. Existiert zu jeder Geraden \(\ell\) jeder zu \(AG(2,3)\) isomorphen Ebene \(\mathcal U\) ein \(d \in D\) mit \(C(d) \cap {\mathcal U} = \ell\), so beweisen die Verff. in ihrem Hauptresultat, daß \(\langle D\rangle\) modulo ihrem Zentrum zur Gruppe \(^ +P \Omega(V,Q)\) isomorph ist. Hier ist \(V\) ein wenigstens 5-d…
reviewed by: Helmut Mäurer
Mathematics Subject Classification ID: 20F65
Mathematics Subject Classification ID: 20E42
Mathematics Subject Classification ID: 51E24
Mathematics Subject Classification ID: 20F29
Mathematics Subject Classification ID: 20F05
Mathematics Subject Classification ID: 20D08
zbMATH DE Number: 130492
zbMATH Keywords: geometry of diagrams
zbMATH Keywords: Fischer spaces
zbMATH Keywords: Fischer groups
zbMATH Keywords: 3-transpositions
author: Hans Cuypers
author: J. I. Hall
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q3708174
cites work: Q3684278
cites work: Affine polar spaces
cites work: On a generalization of Fischer spaces
cites work: Q3848237
cites work: Finite groups generated by 3-transpositions. I
cites work: Q3894101
cites work: Graphs, Geometry, 3-Transpositions, and Symplectic F 2 -Transvection Groups
cites work: Some 3-Transposition Groups with Normal 2-Subgroups
cites work: Présentation de certains couples fischériens de type classique
cites work: A uniqueness lemma for groups generated by 3-transpositions
cites work: A first step toward the classification of Fischer groups
full work available at URL: 0021-8693(92)90036-l
OpenAlex ID: W1981395157
description: scientific article; zbMATH DE number 130492