Degeneration of surfaces and Hasse principle
Soit \(X\) une surface projective, lisse, géométriquement irréductible, définie sur un corps \(k\). Pour tout \(i \geq 1\), nous avons la résolution bien connue de \textit{S. Bloch} et \textit{A. Ogus} [Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., IV. Sér. 7(1974), 181-201 (1975; Zbl 0307.14008)] \((l\) premier convenable fixé) \[ \begin{multlined} 0 \to {\mathcal H}^ i(\mu_ \ell^{\otimes (i - 1)}) \to \underline H^ i \bigl( k(X), \mu_ \ell^{\otimes (i - 1)} \bigr) \\ \to \bigoplus_{x \in X_ 1} \underline H^{i-1} \bigl( k(x), \mu_ \ell^{\otimes (i - 2)} \bigr) \to \bigoplus_{x \in X_ 0} \underline H^{i - 2} \bigl( k(x), \mu_ \ell^{\otimes (i - 3)})\to 0. \end{multlined} \tag{R} \] Dans le cas où \(k=k_ 0\) est un corps fini, \textit{K. Kato} [cf. J. Reine Angew. Math. 366, 142-183 (1986; Zbl 0576.12012)] a déduit de (R) pour \(i = 3\) la suite exacte \[ 0 \to H^ 3 (K, \mu_ \ell^{\otimes 2}) \to \bigoplus_{x \in X_ 1} H^ 2 \bigl( k(x), \mu_ \ell \bigr) \to \bigoplus_{x \in X_ 0} H^ 1 \bigl( k(x), \mathbb{Z}/ \ell \mathbb{Z} \bigr) \to \mathbb{Z}/ \ell \mathbb{Z} \to 0 \tag{*} \] \((x \in X_ i \leftrightarrow \dim \overline {\{x\}} = i\); \(K = k(X))\), \((*)\) généralise la suite exacte \[ 0 \to Br(K)_ \ell \to \bigoplus_{x \in X_ 0} H^ 1 \bigl( k(x), \mathbb{Z}/ \ell \mathbb{Z}) \to \mathbb{Z}/ \ell\mathbb{Z} \to 0 \] du cas d'une courbe \(X\) projective, lisse, géométriquement irréductible. Un point essentiel dans l'établissement de (*) est la nullité de \(H^ 0 (X_{\text{Zar}}, {\mathcal H}^ 3 (\mu_ \ell^{\otimes 2}))\) qui s'interprète aussi comme le noyau \(\text{ Ш}^ 3 (K, \mu_ \ell^{\otimes 2})\) de la flèche \(H^ 3(K, \mu_ \ell^{\otimes 2}) \to \bigoplus_{x \in X_ 1} H^ 3 (K_ x, \mu_ \ell^{\otimes 2})\) où \(K_ x\) désigne le complété du corps \(K\) pour la valuation définie par \(x\). L'objet du présent travail est d'étudier l'analogue de (*) dans le cas où \(k\) est non plus un corps fini mais un corps local à corps résiduel fini. Dans le cas où \(X\) admet bonne réduction, on peut conjecturer l'existence d'une suite exacte \[ 0 \to H^ 4 (K, \mu_ \ell^{\otimes 3}) \to \bigoplus_{x \in X_ 1} H^ 3 \bigl( k(x), \mu_ \ell^{\otimes 2} \bigr) \to \bigoplus_{x \in X_ 0} H^ 2 \bigl( k(x), \mu_ \ell \bigr) \to \mathbb{Z}/ \ell \mathbb{Z} \to 0 \] qui peut être obtenue à partir de (*) en ``cupant'' par l'uniformisante \(\pi\) de \(k\). Mais, en général, quand la monodromie de la situation est non triviale, le noyau \(\text{ Ш}^ 4 (K, \mu_ \ell^{\otimes 3}) = H^ 0 (X_{\text{Zar}}, {\mathcal H}^ 4 (\mu_ \ell^{\otimes 3}))\) contient des classes non nulles provenant de la géométrie de la variété \(Y\) obtenue en réduisant \(X\) mod\((\pi)\). Par exemple, le présence de 2-cycles non-homologues à 0 dans le graphe dual de \(Y\) détermine des classes non nulles dans \(\text{ Ш}^ 4 (K, \mu_ \ell^{\times 3})\). Dans le cas [étudie par \textit{S. Saito} dans J. Number Theory 21, 44-80 (1985; Zbl 0599.14008)] où \(X\) est une courbe définie sur un corps \(p\)-adique, c'est déjà l'existence de 1-cycles non homologues à 0 dans le graphe dual de la courbe réduite qui déterminait une obstruction au principe de Hasse. Nous montrons par exemple (théorème (5.1) de la section II) que si \(X\) est une surface \(K3\) (du type III), alors \(\text{ Ш}^ 4 (K, \mathbb{Q}_ \ell/ \mathbb{Z}_ \ell (3))\) admet un sous-groupe isomorphe à \(\mathbb{Q}_ \ell/ \mathbb{Z}_ \ell\). A la différence de \textit{S. Saito} (loc. cit.), nous utiliserons la théorie des poids de \textit{P. Deligne} [Actes Congr. internat. Math. 1970, Part I, 425-430 (1971; Zbl 0219.14008)] et nous montrerons que ce quotient correspond par dualité à un certain cran de la filtration de Hodge du \(H^ 2\) de \(\overline X\). De façon à pouvoir utiliser les résultats analytiques nous commencerons par traiter le cas (qui nous servira de guide dans le transfert analytique-arithmétique) où \(X\) est définie sur le corps (local) quasi-fini \(\mathbb{C} ((t))\). Dans ce cas, notre résultat essential (théorème 6.1, section I) dit que si \(X\) est une surface \(K3\), alors \(\text{ Ш}^ 3 (\mathbb{Q}_ \ell/ \mathbb{Z}_ \ell (2))\) admet un sous- quotient isomorphe à (a) \((\mathbb{Q}_ \ell/ \mathbb{Z}_ \ell)^ 2\) si \(X\) est de type II, (b) \((\mathbb{Q}_ \ell/ \mathbb{Z}_ \ell)\) si \(X\) est de type III. De là, nous pouvons ensuite passer au cas où \(X\) est définie sur un corps local à corps résiduel fini.
smooth projective surfaces over local field
scientific article; zbMATH DE number 130495
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