Degeneration of surfaces and Hasse principle
type: Item
instance of: scholarly article
title: Degeneration of surfaces and Hasse principle
zbMATH Open document ID: 0803.14020
DOI: 10.1016/0021-8693(92)90033-I
published in: Journal of Algebra
publication date: 1993-03-28T00:00:00Z
review text: Soit \(X\) une surface projective, lisse, géométriquement irréductible, définie sur un corps \(k\). Pour tout \(i \geq 1\), nous avons la résolution bien connue de \textit{S. Bloch} et \textit{A. Ogus} [Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., IV. Sér. 7(1974), 181-201 (1975; Zbl 0307.14008)] \((l\) premier convenable fixé) \[ \begin{multlined} 0 \to {\mathcal H}^ i(\mu_ \ell^{\otimes (i - 1)}) \to \underline H^ i \bigl( k(X), \mu_ \ell^{\otimes (i - 1)} \bigr) \\ \to \bigoplus_{x \in X_ 1} \underline H^{i-1} \bigl( k(x), \mu_ \ell^{\otimes (i - 2)} \bigr) \to \bigoplus_{x \in X_ 0} \underline H^{i - 2} \bigl( k(x), \mu_ \ell^{\otimes (i - 3)})\to 0. \end{multlined} \tag{R} \] Dans le cas où \(k=k_ 0\) est un corps fini, \textit{K. Kato} [cf. J. Reine Angew. Math. 366, 142-183 (1986; Zbl 0576.12012)] a déduit de (R) pour \(i = 3\) la suite exacte \[ 0 \to H^ 3 (K, \mu_ \ell^{\otimes 2}) \to \bigoplus_{x \in X_ 1} H^ 2 \bigl( k(x), \mu_ \ell \bigr) \to \bigoplus_{x \in X_ 0} H^ 1 \bigl( k(x), \mathbb{Z}/ \ell \mathbb{Z} \bigr) \to \mathbb{Z}/ \ell \mathbb{Z} \to 0 \tag{*} \] \((x \in X_ i \leftrightarrow \dim \overline {\{x\}} = i\); \(K = k(X))\), \((*)\) généralise la suite exacte \[ 0 \to Br(K)_ \ell \to \bigoplus_{x \in X_ 0} H^ 1 \bigl( k(x), \mathbb{Z}/ \ell \mathbb{Z}) \to \mathbb{Z}/ \ell\mathbb{Z} \to 0 \] du cas d'une courbe \(X\) projective, lisse, géométriquement irréductible. Un point essentiel dans l'établissement de (*) est la nullité de \(H^ 0 (X_{\text{Zar}}, {\mathcal H}^ 3 (\mu_ \ell^{\otimes 2}))\) qui s'interprète aussi comme le noyau \(\text{ Ш}^ 3 (K, \mu_ \ell^{\otimes 2})\) de la flèche \(H^ 3(K, \mu_ \ell^{\otimes 2}) \to \bigoplus_{x \in X_ 1} H^ 3 (K_ x, \mu_ \ell^{\otimes 2})\) où \(K_ x\) désigne le complété du corps \(K\) pour la valuation définie par \(x\). L'objet du présent travail est d'étudier l'analogue de (*) dans le cas où \(k\) est non plus un corps fini mais un corps local à corps résiduel fini. Dans le cas où \(X\) admet bonne réduction, …
Mathematics Subject Classification ID: 14J25
Mathematics Subject Classification ID: 14G20
Mathematics Subject Classification ID: 11S31
Mathematics Subject Classification ID: 11R58
zbMATH DE Number: 130495
zbMATH Keywords: smooth projective surfaces over local field
zbMATH Keywords: Hasse principle
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author: Jean-Claude Douai
MaRDI profile type: Publication
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description: scientific article; zbMATH DE number 130495