On the simplicity of sandwich near-rings
Bedingungen für die Einfachheit von Funktionenalgebren wurden bereits in den Arbeiten von \textit{G. Berman} und \textit{R. Silverman} [Proc. Am. Math. Soc. 10, 456-459 (1959; Zbl 0092.269)] und von \textit{W. Nöbauer} und \textit{W. Philipp} [Monatsh. Math. 66, 441-452 (1962; Zbl 0111.021)] angegeben. In der vorliegenden Arbeit wird verallgemeinert, wobei alle topologischen Gruppen nichttrivial und hausdorffsch sind. Sind \(X\) ein topologischer Raum, \(H\) eine additiv geschriebene topologische Gruppe und \(\alpha\) eine stetige Abbildung, so sei \(N(X,H,\alpha)\) der Fastring aller stetigen Funktionen von \(X\) in \(H\), wo die Addition punktweise genommen wird und das Produkt \(fg\) zweier Funktionen \(f\) und \(g\) durch \((fg)(x)=f(\alpha(g(x)))\) definiert ist. Weiter bestehe \(N_ 0(X,H,\alpha)\) aus jenen Elementen \(f\) von \(N(X,H,\alpha)\), für die \(f(\alpha(0))=0\) gilt. Im Falle, daß \(X=H\) gilt und \(\alpha\) die identische Abbildung ist, wird \(N(H)\) und \(N_ 0(H)\) anstelle von \(N(X,H,\alpha)\) bzw. \(N_ 0(X,H,\alpha)\) geschrieben. Falls \(G\) und \(H\) topologische Gruppen sind, und \(\alpha\) ein Homomorphismus von \(H\) in \(G\) ist, dann heißt das Tripel \((G,H,\alpha)\) kompatibel falls gilt: (i) entweder enthält \(H\) einen Weg, oder \(G\) is 0-dimensional, (ii) entweder ist der Kern von \(\alpha\) wegezusammenhängend, oder \(G\) ist 0- dimensional. Schließlich wird noch definiert: eine topologische Gruppe heißt \(TR\)-Gruppe, falls sie die additive Gruppe eines topologischen Hausdorffringes \(T\) ist, der die folgenden Bedingungen erfüllt: (i) \(T\) hat ein Einselement, (ii) \(1+1\) ist invertierbar, (iii) entweder lassen sich 1 und \(1+1\) durch einen Weg verbinden, oder \(T\) ist 0-dimensional. Die Hauptresultate sind: Angenommen \((G,H,\alpha)\) ist ein kompatibles Tripel und \(H\) ist eine \(TR\)-Gruppe. Weiter sei \(\alpha\) topologisch eine Quotientenabbildung, deren Wertebereich eine abgeschlossene Untergruppe in \(G\) ist. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (1) \(N(G,H,\alpha)\) ist einfach, (2) \(N(G,H,\alpha)\) hat ein Einselement, (3) \(N(G,H,\alpha)\) ist isomorph zu \(N(G)\), (4) \(N(G,H,\alpha)\) ist isomorph zu \(N(H)\), (5) \(\alpha\) ist ein Isomorphismus von \(H\) auf \(G\) (Theorem 2.10). Für die Einfachheit von \(N_ 0(G,H,\alpha)\) wurden ebenfalls Kriterien gefunden, die sich allerdings als bei weitem restriktiver herausstellen (Theorem 3.4).
scientific article; zbMATH DE number 149618