Arithmetical properties of a certain power series
type: Item
instance of: scholarly article
title: Arithmetical properties of a certain power series
zbMATH Open document ID: 0770.11039
DOI: 10.1016/0022-314X(92)90109-3
author: Kumiko Nishioka
author: Iekata Shiokawa
author: Jun-ichi Tamura
published in: Journal of Number Theory
publication date: 1993-05-16T00:00:00Z
review text: Seien \(\theta>0\) und \(\varphi\) reelle Zahlen, \(\theta\) irrational. Eines der Hauptmotive für die vorliegende Arbeit ist das Studium der Folge \(\{[(k+1) \theta+\varphi]-[k\theta+\varphi]\}_{k=1,2,\dots}\) im Zusammenhang mit einem Billardproblem im Einheitsquadrat. Die erzeugende Potenzreihe dieser Folge, nämlich \[ [\theta+\varphi]x+\sum_{k\geq 1}([(k+1)\theta+\varphi]-[k\theta+\varphi])x^{k+1}, \] ist in \(| x|<1\) gleich \((1-x)\sum_{k\geq 1}[k\theta+\varphi]x^ k\) und hier ist die zuletzt auftretende Potenzreihe gleich dem Wert von \(f(\theta,\varphi;x,y):=\sum_{k\geq 1}\sum_{1\leq m\leq k\theta+\varphi}x^ ky^ m\) für \(y=1\). Diese Funktion \(f(\theta,\varphi;x,y)\) kann man als ``Störung'' der Mahler Funktion \(f(\theta,0;x,y)\) betrachten, wobei letztere in der Literatur verschiedentlich z.B. hinsichtlich Transzendenz und algebraischer Unabhängigkeit untersucht wurde. Verff. zeigen zuerst, daß \(f(\theta,\varphi;x,y)\) gewissen Funktionalgleichungen genügen. Diese Tatsache und eine geeignete Entwicklung von \(\varphi\), die mit dem regulären Kettenbruch von \(\theta\) zusammenhängt, ermöglicht es ihnen, die Funktion sowohl als Reihe wie als Kettenbruch darzustellen, deren Elemente gewisse rationale Funktionen von \(x\) und \(y\) sind. Mit diesen Darstellungen laufen dann die Untersuchungen mehr oder weniger wie im Mahlerschen Fall \(\varphi=0\) ab: Die o.a. Folge läßt sich durch eine Kette von Substitutionen beschreiben; ist insbesondere \(\theta\) quadratisch und \(\varphi\in\mathbb{Q}(\theta)\), so kann sie sogar als Fixpunkt einer Substitution gedeutet werden. Verff. geben des weiteren Irrationalitätsmaße für \(f(\theta,\varphi;1/a,1/b)\) an, wenn \(a,b\) ganzrational sind mit \(| a|\geq 2\), \(b\neq 0\). Ist die Folge der Elemente des Kettenbruchs von \(\theta\) unbeschränkt, so beweisen sie schließlich die algebraische Unabhängigkeit von \(f(\theta,\varphi;\alpha_ i,\beta_ i)\), \(i=1,\dots,n\), für gewisse algebraische \(\alpha_ i\), \(\beta_ i\) …
reviewed by: Peter Bundschuh
Mathematics Subject Classification ID: 11J82
Mathematics Subject Classification ID: 11J91
zbMATH DE Number: 166048
zbMATH Keywords: Mahler-type functional equations
zbMATH Keywords: gap-like series
zbMATH Keywords: continued fraction
zbMATH Keywords: substitutions
zbMATH Keywords: algebraic independence
zbMATH Keywords: irrationality measures
zbMATH Keywords: billiard problem
MaRDI profile type: Publication
cites work: A Remarkable Class of Continued Fractions
cites work: Über eine Klasse reeller transzendenter Zahlen mit explizit angebbarer g-adischer und Kettenbruch-Entwicklung.
cites work: Some classes of transcendental numbers
cites work: Q3338318
cites work: Q4182598
cites work: On real quadratic fields and periodic expansions
cites work: Q4767350
cites work: Arithmetic properties of certain functions in several variables III
cites work: Irrational Power Series. III
cites work: Evertse theorem in algebraic independence
description: scientific article; zbMATH DE number 166048