Non-congruence subgroups for the Hecke groups \(G(\sqrt{2})\) and \(G(\sqrt{3})\)
In der Gruppe der linearen Transformationen der komplexen oberen Halbebene auf sich erzeugen \(T: z\mapsto -1/z\) und \(S^\lambda: z \mapsto z + \lambda\) mit \(0 <\lambda <2\) nur für die folgenden Werte von \(\lambda\) eine diskontinuierliche Gruppe: \[ \lambda= \lambda_q = 2 \cos \frac{\pi}{q},\quad q=3,4,5,6,\dots\,. \] Diese Verallgemeinerung der Modulgruppe (Fall \(q =3\)) nennt man nach ihrem Entdecker Hecke-Gruppe \(G(\lambda_q)\). \textit{M. Newman} [Ann. Mat. Pura Appl., IV. Ser. 65, 27--33 (1964; Zbl 0122.08802)] gab ein Konstruktionsverfahren an für eine Klasse von Nichtkongruenzuntergruppen der Modulgruppe. In der vorliegenden Arbeit wird dieses Konstruktionsverfahren verallgemeinert für die Hecke-Gruppen \(G(\lambda_4)\) und \(G(\lambda_6)\). Dabei wird entscheidend ausgenutzt, daß \(G(\lambda_4)\) bzw. \(G(\lambda_6)\) kommensurabel ist mit der Modulgruppe und daß ein Koeffizientengesetz der Elemente von \(G(\lambda_4)\) bzw. \(G(\lambda_6)\) bekannt ist. Dies ist für eine Hecke-Gruppe \(G(\lambda_q)\), \(q =5\) oder \(q\geq 7\) nicht der Fall, d.h. es scheint sehr schwierig zu sein, das Konstruktionsverfahren von M. Newman für eine Hecke-Gruppe \(G(\lambda_q)\), \(q =5\) oder \(q\geq 7\) zu verallgemeinern.
scientific article; zbMATH DE number 3470508