Completeness of the absolute Galois group of the rational number field
type: Item
instance of: scholarly article
title: Completeness of the absolute Galois group of the rational number field
zbMATH Open document ID: 0329.12012
DOI: 10.1007/BF01229787
author: Masatoshi Ikeda
published in: Archiv der Mathematik
publication date: 1975-01-01T00:00:00Z
review text: In der vorliegenden Note wird eine von \textit{J. Neukirch} [J. Reine Angew. Math. 238, 135--147 (1969; Zbl 0201.05901)] ausgesprochene Vermutung bewiesen. Sei \(\overline{\mathbb Q}\) eine algebraische Hülle von \(\mathbb Q\), \(\widetilde{\mathbb Q}\) die auflösbare Hülle von \(\mathbb Q\) innerhalb \(\overline{\mathbb Q}\). Sei \(G_{\mathbb Q}\) bzw. \(\widetilde G_{\mathbb Q}\) die Galoisgruppe von \(\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q\) bzw. \(\widetilde{\mathbb Q}/\mathbb Q\). Das Hauptergebnis (''Main theorem'') des Verf. lautet: Jeder stetige Gruppen-Automorphismus von \(G_{\mathbb Q}\) oder \(\tilde G_{\mathbb Q}\) ist ein innerer Automorphismus. Verf. nennt einen Gruppen-Automorphismus einer Gruppe \(G\) einen punktweise inneren, falls er jede Konjugierten-Klasse von \(G\) festläßt. Der Beweis des Hauptsatzes stützt sich wesentlich auf folgende Ergebnisse: Theorem A. Sei \(p\) eine Primzahl und \(\mathbb Q_p\) der Körper der \(p\)-adischen Zahlen. Dann ist jeder punktweise innere Automorphismus der absoluten Galoisgruppe von \(\mathbb Q_p\) ein innerer. Das Zentrum dieser absoluten Galoisgruppe ist trivial. Theorem B. Sei \(p\) ein endlicher Primdivisor von \(\mathbb Q\), der nicht über \(\overline{\mathbb Q}\) liegt. Wenn ein stetiger Gruppen-Automorphismus von \(G_{\mathbb Q}\) die Zerlegungsgruppe von \(p\) elementweise festläßt, dann ist dies der identische Automorphismus von \(G_{\mathbb Q}\). Theorem B\('\). Entsprechend wie Theorem B für \(\widetilde{\mathbb Q}\). Die ausführlichen Beweise aller Aussagen erscheinen in einer anderen Arbeit.
Mathematics Subject Classification ID: 11R32
Mathematics Subject Classification ID: 11R18
zbMATH DE Number: 3515581
zbMATH Keywords: pointwise inner automorphism
zbMATH Keywords: absolute Galois group
MaRDI profile type: Publication
cites work: Unendliche algebraische Zahlkörper, über denen jede Gleichung auflösbar von beschränkter Stufe ist
cites work: On the group automorphisms of the absolute Galois group of the rational number field
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cites work: Kennzeichnung der p-adischen und der endlichen algebraischen Zahlkörper
cites work: Kennzeichnung der endlich-algebraischen Zahlkörper durch die Galoisgruppe der maximal auflösbaren Erweiterungen.
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description: scientific article; zbMATH DE number 3515581