Completeness of the absolute Galois group of the rational number field
In der vorliegenden Note wird eine von \textit{J. Neukirch} [J. Reine Angew. Math. 238, 135--147 (1969; Zbl 0201.05901)] ausgesprochene Vermutung bewiesen. Sei \(\overline{\mathbb Q}\) eine algebraische Hülle von \(\mathbb Q\), \(\widetilde{\mathbb Q}\) die auflösbare Hülle von \(\mathbb Q\) innerhalb \(\overline{\mathbb Q}\). Sei \(G_{\mathbb Q}\) bzw. \(\widetilde G_{\mathbb Q}\) die Galoisgruppe von \(\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q\) bzw. \(\widetilde{\mathbb Q}/\mathbb Q\). Das Hauptergebnis (''Main theorem'') des Verf. lautet: Jeder stetige Gruppen-Automorphismus von \(G_{\mathbb Q}\) oder \(\tilde G_{\mathbb Q}\) ist ein innerer Automorphismus. Verf. nennt einen Gruppen-Automorphismus einer Gruppe \(G\) einen punktweise inneren, falls er jede Konjugierten-Klasse von \(G\) festläßt. Der Beweis des Hauptsatzes stützt sich wesentlich auf folgende Ergebnisse: Theorem A. Sei \(p\) eine Primzahl und \(\mathbb Q_p\) der Körper der \(p\)-adischen Zahlen. Dann ist jeder punktweise innere Automorphismus der absoluten Galoisgruppe von \(\mathbb Q_p\) ein innerer. Das Zentrum dieser absoluten Galoisgruppe ist trivial. Theorem B. Sei \(p\) ein endlicher Primdivisor von \(\mathbb Q\), der nicht über \(\overline{\mathbb Q}\) liegt. Wenn ein stetiger Gruppen-Automorphismus von \(G_{\mathbb Q}\) die Zerlegungsgruppe von \(p\) elementweise festläßt, dann ist dies der identische Automorphismus von \(G_{\mathbb Q}\). Theorem B\('\). Entsprechend wie Theorem B für \(\widetilde{\mathbb Q}\). Die ausführlichen Beweise aller Aussagen erscheinen in einer anderen Arbeit.
scientific article; zbMATH DE number 3515581