The Selberg trace formula for \(\mathrm{PSL}(2,\mathbb R)\). Vol. I
type: Item
instance of: scholarly article
title: The Selberg trace formula for \(\mathrm{PSL}(2,\mathbb R)\). Vol. I
zbMATH Open document ID: 0347.10018
author: Dennis A. Hejhal
published in: Lecture Notes in Mathematics
publication date: 1976-01-01T00:00:00Z
review text: Trotz der großen Bedeutung, welche die Selbergsche Spurformel in der neueren mathematischen Forschung erlangt hat, gibt es kaum einführende ausführliche Darstellungen dieses Gebiets. Es ist das Ziel des Verf., diesem Übelstande abzuhelfen. Dabei beschränkt er sich auf den besonders übersichtlichen Fall einer Grenzkreisgruppe erster Art \(\Gamma\), die auf der oberen Halbebene \(H\) operiert. Der vorliegende erste Band der Darstellung diskutiert den Spezialfall einer Gruppe \(\Gamma\) mit kompaktem Quotienten \({}_\Gamma\backslash H\). In einem in Vorbereitung befindlichen zweiten Band (vgl. Zbl 0543.10020) sollen die Grenzkreisgruppen erster Art mit Spitzen behandelt werden. Es sei also im folgenden \(\Gamma\) eine diskrete Untergruppe von \(\mathrm{PSL}(2,\mathbb R)\) mit kompaktem Quotienten \({}_\Gamma\backslash H\). Im kurzen Kap. I (38 S.) wird die Selbergsche Spurformel bewiesen für Kerne, die zu Punktpaarinvarianten gebildet sind (Gewicht 0, Charakter 1), und für Gruppen \(\Gamma\) ohne elliptische Elemente. Die notwendige Eigenwerttheorie des hyperbolischen Laplace Operators \(\Delta\) wird aus der Hilbertschen Integralgleichungstheorie hergeleitet. Beim Beweis der Spurformel beschränkt sich der Verf. zunächst auf spezielle Kerne, für welche die Rechnungen besonders einfach sind, und dehnt anschließend mit Hilfe eines naheliegenden Approximationsprozesses den Gültigkeitsbereich der Spurformel auf eine umfassendere Klasse von Funktionen aus. Kapitel II ist das gewichtigste und längste (287 S.) Kapitel des Bandes. Es ist einer eingehenden Diskussion der Selbergschen Zetafunktion \(Z(s)\) gewidmet. Dabei verfolgt der Verf. das Ziel, an Hand nicht-trivialer Anwendungen der Selbergschen Spurformel ein tieferes Verständnis für die Bedeutung dieser Formel zu erwecken. Der in großen Teilen neue, reichhaltige Inhalt dieses zweiten Kapitels kann hier nur sehr pauschal angedeutet werden. Die formale Analogie der Spurformel zu den sog. expliziten Formeln der Primzahlthe…
reviewed by: Jürgen Elstrodt
Mathematics Subject Classification ID: 11F72
Mathematics Subject Classification ID: 11-02
Mathematics Subject Classification ID: 11M36
Mathematics Subject Classification ID: 30F10
Mathematics Subject Classification ID: 30-02
Mathematics Subject Classification ID: 30F35
Mathematics Subject Classification ID: 35P20
zbMATH DE Number: 3540882
zbMATH Keywords: Selberg trace formula
zbMATH Keywords: Selberg zeta function
zbMATH Keywords: groups with compact quotient
MaRDI profile type: Publication
Wikidata QID: Q56032553
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bfb0079608
OpenAlex ID: W2507077471
DOI: 10.1007/BFB0079608
description: scientific article; zbMATH DE number 3540882