Duality between prime factors and an application to the prime number theorem for arithmetic progressions
Definiert man die zahlentheoretischen Funktionen \(P:\mathbb N\to\mathbb N\) und \(p:\mathbb N\to\mathbb N\) so, daß\ \(P(n)\) bzw. \(p(n)\) den größten bzw. den kleinsten Primfaktor von \(n\) darstellt, so gelten für jede zahlentheoretische Funktion \(f\) mit \(f(1)=0\) die Identitäten \[ \sum_{d\mid n}\mu(d)f(P(d)) = -f(p(n)),\quad\sum_{d\mid n}(d)f(p(d))=-f(P(n)). \] \(\mu\) bezeichnet dabei die Möbiusfunktion. Darauf aufbauend, kann man mit Hilfe des Primzahlsatzes für arithmetische Folgen bei \(ggT(\ell,k)=1\) \[ \sum_{\substack{n=2 \\ p(n)\equiv\ell \pmod k}} \frac{\mu(n)}n = \frac{-1}{\varphi(k)} \] herleiten, wobei \(\varphi\) für die Eulersche Funktion steht. Allgemeiner gelten für eine beschränkte zahlentheoretische Funktion \(f\) die Abschätzungen \[ \sum_{n\leq x}\mu(n)f(p(n)) = O\left(\frac x{\log\log\log x}\right) \] sowie die Äquivalenz der Relationen \[ \sum_{n=2}^\infty\frac{\mu(n)f(p(n))}n = -c\text{ und }\sum_{n\leq x} f(P(n))\sim c\cdot x. \]
scientific article; zbMATH DE number 3559679