Factorization over a finite field \(\mathbb F_{p^n}\) of the composite polynomials \(f\left(X^{p^r}-aX\right)\) where \(f(X)\) is an irreducible polynomial in \(\mathbb F_{p^n}(X)\)
Dans cet atcle on détermine explicitement les degrés des irréductibles factorisant, dans \(\mathbb {F}_{p^s}[X],\) le polynôme composé \(f(X^{p^r}-aX)\), où \(f\) est un irréductible de \(\mathbb {F}_{p^s}[X]\), \(r\) un entier arbitraire et \(a\) un élément de \(\mathbb {F}_{p^s}^\times\) et ce à l'aide de deux paramètres. On donne aussi des formules permettant de calculer le nombre de facteurs irréductibles d'un degré donné. Ces formules, par simplification, sont omises dans ce résumé. De façon précise si \(f(X)\) est un irréductible de degré \(n\) de \(\mathbb {F}_{p^s} [X]\), en posant \((r,sn)=d\), \(d\delta =sn\), \(\mathbb {F}_p(a)=\mathbb {F}_{p^\sigma}\) et en définissant l'entier \(k\) par \((r,snp^{k+1}) =p^k(r,sn)\) et l'entier \(h\) comme étant le plus petit entier\(\geq 1\) tel que: \(a^{p^{h\sigma}-1)/(p^{(r,h\sigma)}-1)}=1\) on a alors: (1) Si \(a^{(p^{sn}-1)/p^d-1}\neq 1\), \(f(X^{p^r}-aX)\) est un produit d'irréductibles de \(\mathbb {F}_{p^s}[X]\) dont les degrés sont les entiers de l'ensemble \(D= \{n\}\cup\left\{ n\frac{[h\sigma,t]}{(ns[h\sigma,t])}\right\} _{t|r}\). Il y a un unique polynôme de degré \(n\) dont on donne explicitement les racines. (2) Si \(a^{(p^{sn}-1)/(p^d-1)}=1\), soit \(\xi k\in \mathbb {F}_{p^{sn}}\) une racine de \(X^{p^r-1}-a\) et soit le polynôme \(\rho_{\delta,d}=sum_{j=0}^{\delta-1}(\xi^{-p^r}X)^{p^{dj}}.\) (i) Si \((f(x),\rho_{\delta,d}) = 1, f(X^{P^r} -aX)\) est un produit de polynômes irréductibles de \(\mathbb {F}_{p^s} [x]\) dont les degrés sont les entiers de l'ensemble \(D=\left\{ n\frac t{(t,ns)} \right\} _{t|r}\) (ii) Si \((f(X),\rho_{\delta,d}) =1, f(X^{p^r} -aX)\) est un produit d'irréductibles de \(\mathbb {F}_{p^s} [X]\) dont les degrés sont les entiers de l'ensemble \(D'=\{np^{k+1}t/(t,nsp^{k+1})\}_{t|r}.\) Enfin on donne des exemples numériques illustrant ces résultats. Une propriété essentielle a permis cette étude, c'est l'existence d'une racine de \(f(X^{p^r}-aX)\) dont le degré du polynôme minimal sur \(\mathbb {F}_{p^s}\) divise le degré du polynôme minimal sur \(\mathbb {F}_{p^s}\) de toute autre racine. Dans un papier en instance de publication, intitulé ``Sur une classe de polynômes hyponormaux sur un corps fini'' [Acta Arith. 39, 105--111 (1981; Zbl 0494.12014)] l'A. établit que propriété à dessus est satisfaite par les polynômes composés \(f(\sum_{i=0}^ma_iX^{p^{ri}})\)) où \(f(X)\) est irréductible sur \(\mathbb {F}_{p^s}\), où \(a_i \in\mathbb {F}_{p^s}\) pour \(i =0,\dots,m\) et où \(r\) et \(s \in\mathbb N^*\) sont liés par aucune condition, l'un des \(a_i\) au moins n'étant pas nul.
scientific article; zbMATH DE number 3557900
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