Factorization over a finite field \(\mathbb F_{p^n}\) of the composite polynomials \(f\left(X^{p^r}-aX\right)\) where \(f(X)\) is an irreducible polynomial in \(\mathbb F_{p^n}(X)\)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Factorization over a finite field \(\mathbb F_{p^n}\) of the composite polynomials \(f\left(X^{p^r}-aX\right)\) where \(f(X)\) is an irreducible polynomial in \(\mathbb F_{p^n}(X)\)
zbMATH Open document ID: 0358.12011
DOI: 10.1016/0022-314X(77)90027-0
published in: Journal of Number Theory
publication date: 1977-01-01T00:00:00Z
review text: Dans cet atcle on détermine explicitement les degrés des irréductibles factorisant, dans \(\mathbb {F}_{p^s}[X],\) le polynôme composé \(f(X^{p^r}-aX)\), où \(f\) est un irréductible de \(\mathbb {F}_{p^s}[X]\), \(r\) un entier arbitraire et \(a\) un élément de \(\mathbb {F}_{p^s}^\times\) et ce à l'aide de deux paramètres. On donne aussi des formules permettant de calculer le nombre de facteurs irréductibles d'un degré donné. Ces formules, par simplification, sont omises dans ce résumé. De façon précise si \(f(X)\) est un irréductible de degré \(n\) de \(\mathbb {F}_{p^s} [X]\), en posant \((r,sn)=d\), \(d\delta =sn\), \(\mathbb {F}_p(a)=\mathbb {F}_{p^\sigma}\) et en définissant l'entier \(k\) par \((r,snp^{k+1}) =p^k(r,sn)\) et l'entier \(h\) comme étant le plus petit entier\(\geq 1\) tel que: \(a^{p^{h\sigma}-1)/(p^{(r,h\sigma)}-1)}=1\) on a alors: (1) Si \(a^{(p^{sn}-1)/p^d-1}\neq 1\), \(f(X^{p^r}-aX)\) est un produit d'irréductibles de \(\mathbb {F}_{p^s}[X]\) dont les degrés sont les entiers de l'ensemble \(D= \{n\}\cup\left\{ n\frac{[h\sigma,t]}{(ns[h\sigma,t])}\right\} _{t|r}\). Il y a un unique polynôme de degré \(n\) dont on donne explicitement les racines. (2) Si \(a^{(p^{sn}-1)/(p^d-1)}=1\), soit \(\xi k\in \mathbb {F}_{p^{sn}}\) une racine de \(X^{p^r-1}-a\) et soit le polynôme \(\rho_{\delta,d}=sum_{j=0}^{\delta-1}(\xi^{-p^r}X)^{p^{dj}}.\) (i) Si \((f(x),\rho_{\delta,d}) = 1, f(X^{P^r} -aX)\) est un produit de polynômes irréductibles de \(\mathbb {F}_{p^s} [x]\) dont les degrés sont les entiers de l'ensemble \(D=\left\{ n\frac t{(t,ns)} \right\} _{t|r}\) (ii) Si \((f(X),\rho_{\delta,d}) =1, f(X^{p^r} -aX)\) est un produit d'irréductibles de \(\mathbb {F}_{p^s} [X]\) dont les degrés sont les entiers de l'ensemble \(D'=\{np^{k+1}t/(t,nsp^{k+1})\}_{t|r}.\) Enfin on donne des exemples numériques illustrant ces résultats. Une propriété essentielle a permis cette étude, c'est l'existence d'une racine de \(f(X^{p^r}-aX)\) dont le degré du polynôme minimal su…
Mathematics Subject Classification ID: 11T06
zbMATH DE Number: 3557900
author: Simon Joseph Agou
MaRDI profile type: Publication
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description: scientific article; zbMATH DE number 3557900