Algebras with uniformly distributed invariants
type: Item
instance of: scholarly article
title: Algebras with uniformly distributed invariants
zbMATH Open document ID: 0358.16005
DOI: 10.1016/0021-8693(77)90182-X
published in: Journal of Algebra
publication date: 1977-01-01T00:00:00Z
review text: Es sei \(K\) eine endliche abelsche Erweiterung von \(\mathbb Q\). Es sei \(B(K)\) die Brauer-Gruppe von \(K\) und \(S(K)\) die Schur-Untergruppe von \(B(K)\) (die von den einfachen zentralen Komponenten aller Gruppen-Algebren \(K[G]\), \(G\) endliche Gruppe erzeugt wird). Bekannte Ergebnisse von \textit{M. Benard} (und \textit{M. M. Schacher}) [J. Algebra 22, 374--377 (1972; Zbl 0239.20006)] besagen: (1) Hat \(A \in S(K)\) Index \(m\), so gilt \(\varepsilon_m = \exp(2\pi i/m) \in K\). (2) Für \(\mathfrak p | p\), \(\sigma \in \text{Gal}(K/\mathbb Q)\), \(\varepsilon^m_\sigma = \varepsilon^b_m\) gilt \(\text{inv}_{\mathfrak p} (A) \equiv b \;\text{inv}_{\sigma(\mathfrak p)}(A) (\text{mod} 1)\). Der Verf. betrachtet die Untergruppe \(U(K)\) von \(B(K)\) der Elemente, die diese Bedingungen erfüllen, und untersucht insbesondere den Zusammenhang zwischen \(U(K)\) und \(S(K)\). Z.B. wird bewiesen, dass der Exponent von \(U(K)\) gleich der Ordnung \(n\) der Gruppe der Einheitswurzeln in \(K\) ist. Im allgemeinen ist \(U(K) \neq S(K)\), der Index kann sogar unendlich sein. Für einen Zwischenkörper \(\mathbb Q \subset L \subset K\) wird bewiesen \(U(K)=U(L)\otimes_L K\) genau dann, wenn \((n, [K:L]) = 1\) und \(\mathbb Q (\varepsilon_n) \subseteq L\). Die Arbeit enthält noch einige weitere Resultate dieser Art. Zum Beweis werden wohlbekannte Resultate der Algebren-Theorie und algebraischen Zahlentheorie benutzt.
Mathematics Subject Classification ID: 16S34
Mathematics Subject Classification ID: 11R37
Mathematics Subject Classification ID: 11R18
Mathematics Subject Classification ID: 14F22
Mathematics Subject Classification ID: 20C05
zbMATH DE Number: 3557980
author: Richard A. Mollin
MaRDI profile type: Publication
cites work: The Schur subgroup. I
cites work: The Schur subgroup. II
cites work: Q5542154
cites work: On the Brauer-Speiser theorem
cites work: Q5632666
cites work: The Schur group of cyclotomic fields
cites work: Q4063245
cites work: Generators for the Schur group of local and global number fields
cites work: The 2-part of the Schur group
cites work: More on the Schur Subgroup
cites work: Die algebraische Struktur des Gruppenringes einer endlichen Gruppe über einem Zahlkörper.
cites work: The Schur subgroup of the Brauer group
description: scientific article; zbMATH DE number 3557980