Algebras with uniformly distributed invariants
Es sei \(K\) eine endliche abelsche Erweiterung von \(\mathbb Q\). Es sei \(B(K)\) die Brauer-Gruppe von \(K\) und \(S(K)\) die Schur-Untergruppe von \(B(K)\) (die von den einfachen zentralen Komponenten aller Gruppen-Algebren \(K[G]\), \(G\) endliche Gruppe erzeugt wird). Bekannte Ergebnisse von \textit{M. Benard} (und \textit{M. M. Schacher}) [J. Algebra 22, 374--377 (1972; Zbl 0239.20006)] besagen: (1) Hat \(A \in S(K)\) Index \(m\), so gilt \(\varepsilon_m = \exp(2\pi i/m) \in K\). (2) Für \(\mathfrak p | p\), \(\sigma \in \text{Gal}(K/\mathbb Q)\), \(\varepsilon^m_\sigma = \varepsilon^b_m\) gilt \(\text{inv}_{\mathfrak p} (A) \equiv b \;\text{inv}_{\sigma(\mathfrak p)}(A) (\text{mod} 1)\). Der Verf. betrachtet die Untergruppe \(U(K)\) von \(B(K)\) der Elemente, die diese Bedingungen erfüllen, und untersucht insbesondere den Zusammenhang zwischen \(U(K)\) und \(S(K)\). Z.B. wird bewiesen, dass der Exponent von \(U(K)\) gleich der Ordnung \(n\) der Gruppe der Einheitswurzeln in \(K\) ist. Im allgemeinen ist \(U(K) \neq S(K)\), der Index kann sogar unendlich sein. Für einen Zwischenkörper \(\mathbb Q \subset L \subset K\) wird bewiesen \(U(K)=U(L)\otimes_L K\) genau dann, wenn \((n, [K:L]) = 1\) und \(\mathbb Q (\varepsilon_n) \subseteq L\). Die Arbeit enthält noch einige weitere Resultate dieser Art. Zum Beweis werden wohlbekannte Resultate der Algebren-Theorie und algebraischen Zahlentheorie benutzt.
scientific article; zbMATH DE number 3557980