Canonical realizations of the Lie algebra \(\mathfrak{sp}(2n,\mathbb{R})\)
Für die Lie-Algebra \(\mathfrak{sp}(2n,\mathbb{R})\) werden \(d\)-parametrige, \(d = 1,2,\ldots ,n\), Realisierungen in der Weyl-Algebra \(W_{2N(d)}\), d.h. der (komplexen) Algebra der Polynome in quanten-kanonischen Variablen \(p_i\), \(q_i\), \([p_i, q_i] = \delta_{ij}\), \(i, j = 1,2 \ldots, N(d)\), \(N(d) = d(2n-d)\), konstruiert. Diese Realisierungen haben folgende Eigenschaften: 1. Die Casimiroperatoren sind durch Vielfache der Eins realisiert. 2. Die Realisierungen sind schiefhermitesch bezüglich der durch \(q^{+}_i = q_i\), \(p^{+}_i = -p_i\) in \(W_{2N(d)}\) definierten Involution. 3. Die Realisierungen sind ``inäquivalent'' bezüglich Endomorphismen der Weyl-Algebra. Analoge Realisierungen wurden bereits für \({\mathfrak o}(2n,\mathbb{R})\), \(\mathfrak{gl}(2n,\mathbb{R})\), \(\mathfrak{sl}(2n,\mathbb{R})\) (s. Zitate in der Arbeit), sowie für \(u(p,q)\) [siehe \textit{J. Waniewski}, Rep. Math. Phys. 11, 331--337 (1977; Zbl 0362.22018)] konstruiert. Eine Zusammenfassung bisheriger Resultate zu kanonischen Realisierungen findet man bei \textit{P. Exner} and the authors [Czech. J. Phys., Ser. B 26, 1213--1228 (1976; Zbl 0381.17008)]. In den Schlußfolgerungen wird auch die Möglichkeit der Konstruktion minimaler Realisierungen von Lie-Algebren unter Anwendung einer verallgemeinerten ``Spurformel'' diskutiert. Für die kompakten klassischen Lie-Algebren wird die kleinste Anzahl \(N\) kanonischer Paare angegeben, für die eine schiefhermitesche Realisierung in \(W_{2N}\) existiert.
scientific article; zbMATH DE number 3558009