A simple proof of the transformation formula for \(\log \eta(z)\)
type: Item
instance of: scholarly article
title: A simple proof of the transformation formula for \(\log \eta(z)\)
zbMATH Open document ID: 0368.10021
DOI: 10.1007/BF01351679
author: Robert Sczech
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1978-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/182783
review text: Es sei \(q=\exp(2\pi z)\), \(\text{Im}\,z>0\), \(\eta(z)=q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)\) die Dedekindsche Eta-Funktion und \(A=(a,b;c,d)\in \text{SL}(2,\mathbb Z)\). Die fragliche Formel besagt, daß\ \[ \log\eta\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)-\log\eta(z)-\frac12\log\left(\frac{cz+d}{i}\right)\tag{*} \] unanhängig von \(z\) und gleich einem Vielfachen von \(2\pi i/24\) ist. Für diese ganze Zahl fand Dedekind eine explizite Formel als Funktion von \((a,b,c,d)\) mittels sog. ``Dedekindscher Summen''. In der obigen Arbeit wird nun ein neuer Beweis dieser Formel gegeben: \(\log\eta(Az)-\log\eta(z)\) wird in eine Doppelreihe umgeformt, deren allgemeines Glied eine rationale Funktion der Summationsbuchstaben ist. Die Dedekindsche Formel erhält man dann aus dieser Darstellung durch eine gewisse Summationsvertauschung. Die durch diese Umordnung der bedingt konvergenten Doppelreihe bewirkte Wertänderung läßt sich mittels eines bekannten Satzes von Eisenstein bestimmen und führt in (*) gerade zu dem Term \(\frac12\log\left(\frac{cz+d}{i}\right)\).
Mathematics Subject Classification ID: 11F20
Mathematics Subject Classification ID: 11F11
zbMATH DE Number: 3573963
zbMATH Keywords: Dedekind eta-function
zbMATH Keywords: Dedekind sums
zbMATH Keywords: Eisenstein theorem
MaRDI profile type: Publication
cites work: The transformation formula for the Dedekind modular function and related functional equations
cites work: On Dedekind's transformation formula for \(\log\eta (\tau)\)
cites work: Q5848411
cites work: Zur Theorie der Modulfunktionen.
cites work: Q5670687
cites work: Q4079943
cites work: Über die Transformationsformel von \(\log \eta (\tau)\) und gewisser Lambertscher Reihen
cites work: On the transformation of log \(\eta (\tau)\)
OpenAlex ID: W2076564752
description: scientific article; zbMATH DE number 3573963