Necklaces, symmetries and self-reciprocal polynomials
type: Item
instance of: scholarly article
title: Necklaces, symmetries and self-reciprocal polynomials
zbMATH Open document ID: 0395.05004
DOI: 10.1016/0012-365X(78)90043-2
author: Robert Miller
published in: Discrete Mathematics
publication date: 1978-01-01T00:00:00Z
review text: \(K=\mathrm{GF}(q)\) sei ein endlicher Körper. Verf. möchte \(\hat a_n = \vert \) irreduzible selbstreziproke Polynome vom Grad \(n\) über \(K\) mit höchstem Koeffizienten \(=1 \vert \) bestimmen (ein Polynom \(f\) heiße selbstreziprok, wenn \(X^n f(\tfrac1{X}=f(x)\). Wie man allerdings sofort durch Abzählen feststellt, ist die in der Arbeit angegebene Formel für \(n = 2\) nicht richtig. Eine Möbius-Inversion im Beweis ist falsch ausgeführt. Repariert man das, so ergibt sich richtig \(\hat a_2 =[\tfrac{q}{2}]\). Verf. zeigt, daß immer \(\hat a_{2n} >0\) ist. Das heißt u.a., \(\mathrm{GF}(q^{2n})\) kann durch ein primitives Element über \(K\) erzeugt werden, unter dessen Konjugierten sein Inverses vorkommt. Hilfsmittel beim Beweis ist die Abzählung ,,selbst-komplementärer'' Halsketten aus \(n\) Perlen, die in \(q\) möglichen verschiedenen Farben gefärbt sind, in der Nachfolge von \textit{S. W. Golomb} [Irreducible polynomials, synchronization codes, primitive necklaces, and the cyclotomic algebra. Combin. Math. Appl., Proc. Conf. Univ. North Carolina 1967, 358--370 (1969; Zbl 0221.94008)].
reviewed by: Bernd Richter
Mathematics Subject Classification ID: 05A15
Mathematics Subject Classification ID: 05A05
Mathematics Subject Classification ID: 11T06
zbMATH DE Number: 3613045
zbMATH Keywords: necklaces
zbMATH Keywords: symmetries
zbMATH Keywords: self-reciprocal polynomials
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q3236675
cites work: Q3254323
cites work: Q5626468
cites work: Q3243274
cites work: Q4774085
Recommended article: Necklaces, self-reciprocal polynomials, and \(q\)-cycles
Recommended article: Combinatorics of necklaces and ``Hermite reciprocity''
Recommended article: Group-theoretical generalization of necklace polynomials
Recommended article: Symmetric chain decomposition of necklace posets
Recommended article: Necklaces and convex \(k\)-gons
Recommended article: Necklaces, convolutions, and \(X+Y\)
Recommended article: Necklaces, Convolutions, and X + Y
Recommended article: Necklaces count polynomial parametric osculants
Recommended article: Algebraic properties of necklace rings
description: scientific article; zbMATH DE number 3613045