Necklaces, symmetries and self-reciprocal polynomials
\(K=\mathrm{GF}(q)\) sei ein endlicher Körper. Verf. möchte \(\hat a_n = \vert \) irreduzible selbstreziproke Polynome vom Grad \(n\) über \(K\) mit höchstem Koeffizienten \(=1 \vert \) bestimmen (ein Polynom \(f\) heiße selbstreziprok, wenn \(X^n f(\tfrac1{X}=f(x)\). Wie man allerdings sofort durch Abzählen feststellt, ist die in der Arbeit angegebene Formel für \(n = 2\) nicht richtig. Eine Möbius-Inversion im Beweis ist falsch ausgeführt. Repariert man das, so ergibt sich richtig \(\hat a_2 =[\tfrac{q}{2}]\). Verf. zeigt, daß immer \(\hat a_{2n} >0\) ist. Das heißt u.a., \(\mathrm{GF}(q^{2n})\) kann durch ein primitives Element über \(K\) erzeugt werden, unter dessen Konjugierten sein Inverses vorkommt. Hilfsmittel beim Beweis ist die Abzählung ,,selbst-komplementärer'' Halsketten aus \(n\) Perlen, die in \(q\) möglichen verschiedenen Farben gefärbt sind, in der Nachfolge von \textit{S. W. Golomb} [Irreducible polynomials, synchronization codes, primitive necklaces, and the cyclotomic algebra. Combin. Math. Appl., Proc. Conf. Univ. North Carolina 1967, 358--370 (1969; Zbl 0221.94008)].
scientific article; zbMATH DE number 3613045
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