Optimality relationships for p-cyclic SOR
K\({}_ p\) bestehe aus der Menge der Matrizen der Form \[ A = \begin{pmatrix} A_1 & 0 & \ldots & 0 & B_1 \\ B_2 & A_2 & \ddots & & 0 \\ 0 &\ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \ldots & 0 & B_ p & A_ p \end{pmatrix} \] A ist also konsistent geordnet und p-zyklisch. Die zugehörige Jacobi- Matrix werde mit \({\mathcal J}_ p\), die zugehörige SOR-Iterationsmatrix mit \({\mathcal L}_ p(\omega)\) bezeichnet. Nun gehört A auch zu \(K_ q\) für jedes q mit \(2\leq q<p\) (z.B. für \(q=2\) durch Einführung obiger Trennlinien). Die Autoren zeigen, daß Block-SOR-Verfahren für festes A - betrachtet als Mitglieder verschiedener Klassen \(K_ q\)- gleich arbeitsaufwendig sind. Ist das Spektrum von \({\mathcal J}^ p_ p\) reell und nichtnegativ und \(0<\rho ({\mathcal J}_ p)<1,\) so wird \(\rho ({\mathcal L}_ p(\omega_ p))<\rho ({\mathcal L}_ q(\omega_ q))\) bewiesen (\(\rho\) Spektralradius; \(\omega_ p\), \(\omega_ q\) optimale Parameter). \(p=2\) ist also am günstigsten. Gleiches Resultat, falls Spektrum von \({\mathcal J}^ p_ p\) reell und nicht positiv ist und \(0<\rho ({\mathcal J}_ p)<(p/p-2)\) gilt. Verff. bemerken, daß \textit{M. Eiermann}, \textit{W. Niethammer} und \textit{A. Ruttan} [Optimal successive overrelaxation iterative methods for p-cyclic matrices (Preprint 1989)] kürzlich dasselbe Ergebnis auf anderem Wege erzielten.
scientific article; zbMATH DE number 4126578