On a criterion of algebraic independence of numbers
Das Kriterium in der Überschrift läßt sich so beschreiben. Sei \(| |_ v\) auf \({\mathbb{Q}}\) eine nichttriviale Bewertung, \({\mathbb{Q}}_ v\) die Vervollständigung von \({\mathbb{Q}}\) bezüglich \(| |_ v\) und \(\Omega\) die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses von \({\mathbb{Q}}_ v\). Sei \(M\neq \emptyset\) eine nichtleere Teilmenge von \({\mathbb{R}}\) und jedem \(\mu\in M\) sei ein \(\theta_{\mu}\in \Omega\) so zugeordnet, daß folgendes erfüllt ist. Zu jeder endlichen Teilmenge \(T\neq \emptyset\) von M gibt es eine streng wachsende Folge \((u_ n)\in {\mathbb{N}}^{{\mathbb{N}}}\) und für jedes \(\tau\in T\) Folgen \((\theta_{\tau n})\in (\Omega \setminus \{\theta_{\tau}\})^{{\mathbb{N}}}\) mit den Eigenschaften (i): \(| \theta_{\tau n}-\theta_{\tau}|_ v\to 0\) bei \(n\to \infty,\) (ii): \(\sum_{\tau \in T}| \theta_{\tau n}-\theta_{\tau}|_ v\) verhält sich asymptotisch wie \(\max_{\tau \in T}| \theta_{\tau n}-\theta_{\tau}|_ v,\) (iii): Dieses Maximum ist für \(n\geq n_ 0\) kleiner als \(c_ 0\exp (- O(u_ n| \theta_{\tau n}\), \(\tau\in T))\), wo \(n_ 0\) und \(c_ 0\) von T abhängen können und O(...\(|...)\) die von \textit{K. Mahler} [Acta Arith 18, 63-76 (1971; Zbl 0217.039)] eingeführte Ordnungsfunktion bedeutet. Dann sind die \(\theta_{\mu}\), \(\mu\in M\), über \({\mathbb{Q}}\) algebraisch unabhängig. Kriterien ähnlicher Art sind im Falle, wo man mit algebraischen \(\theta_{\tau n}\) approximiert, in der Literatur verschiedentlich angegeben worden, etwa vom Ref. [Osaka J. Math. 25, 849-858 (1988)].
scientific article; zbMATH DE number 4128916