Iwasawa theory of \(p\)-rational and \(p\)-birational fields
Pour un corps de nombres \(K\), on note \(\lambda_\infty\) et \(\mu_\infty\) les deux invariants donnés par la théorie d'Iwasawa et attachés au groupe de Galois de la \(p\)-extension abélienne maximale \(p\)-ramifiée de la \(\mathbb{Z}_p\)-extension cyclotomique de \(K\). L'auteur caractérise alors par l'étude des invariants \(\lambda_\infty\) et \(\mu_\infty\) les corps \(p\)-rationnels et \(p\)-birationnels parmi les corps de nombres dont la capitulation du \(p\)-groupe des \(p\)-classes est triviale dans la \(\mathbb{Z}_p\)-extension cyclotomique de \(K\). La notion de \(p\)-birationalité est moins connue que celle de \(p\)-rationalité. Pour l'introduire, on parle de \({\mathfrak p}\)-rationalité en une place \({\mathfrak p}\) au dessus de \(p\) lorsque le corps de nombres \(K\) contient les racines \(p\)-ièmes de l'unité et lorsque la \(p\)-extension (abélienne) \(p\)-ramifiée \({\mathfrak p}\)-décomposée maximale de \(K\) est triviale. Le corps de nombres \(K\) est alors dit \(p\)-birationnel s'il est \({\mathfrak p}\)-rationnel en au moins deux places \({\mathfrak p}\) au dessus de \(p\). Les résultats sont illustrés par l'étude de plusieurs exemples de familles de corps de nombres. Erratum: Dans le théorème 1.1, l'hypothèse de ``triviale capitulation du \(p\)-groupe des \(p\)-classes dans la \(\mathbb{Z}_p\)-extension cyclotomique'' doit être remplacée par l'hypothèse duale (équivalente en présence des racines \(p\)-ièmes de l'unité) qui se traduit par l'inexistence d'un sous-Lambda-module fini non trivial du groupe de Galois de la \(p\)-extension abélienne non ramifiée \({\mathfrak p}\)-décomposée de la \(\mathbb{Z}_p\)-extension cyclotomique de \(K\).
scientific article; zbMATH DE number 1203622