Structure locale et globale des feuilletages de Rolle, un théorème de fibration. (Local and global structure of Rolle foliations, a fibration theorem)
L'auteur étudie la structure locale et globale des feuilletages de Rolle. Un feuilletage transversalement orienté \({\mathcal F}\) de codimension 1 sur une variété \(M\) connexe orientée est dit de Rolle si toute courbe transverse à \({\mathcal F}\) coupe au plus une fois chaque feuille. Cet travail fournit des résultats remarquables sur le sujet. Une fonction \(Q\) de \(M\) dans \(\mathbb{R}^+\) est tapissante adaptée à \({\mathcal F}\) si elle est propre et possède un nombre fini de valeurs critiques qui vérifie certaines propriétés ``de finitude''. À l'aide de ces notions on montre que \(M\) se décompose en une union finie de feuilles et d'ouverts saturés sur lesquels \({\mathcal F}\) a une structure de produit. Théorème 1. ``Soit \(M\) une variété différentiable de classe \(C^\infty\) orientée et \({\mathcal F}\) une feuilletage de Rolle transversalement orientable sur \(M\) possédant un fonction tapissante adaptée. Il existe un nombre fini de feuilles \(F_1,\dots, F_p\) telles que chaque composante connexe \(V\) du complémentaire \(M\smallsetminus (F_1\cup\dots\cup F_p)\) est le saturé d'une courbe \(\gamma\) de classe \(C^\infty\) et la projection \(p_\gamma\) de \(\text{Sat} (\gamma)=V\) sur \(\gamma\) est une \(C^\infty\)-fibration triviale.'' L'auteur étudie ensuite les feuilletages analytiques de Rolle au voisinage d'une singularité isolée. Théorème 2. ``Soit \(\underline{\mathcal F}= ({\mathcal F}, \{0\})\) un feuilletage analytique de Rolle sur un voisinage connexe \(U\) de l'origine 0 de \(\mathbb{R}^n\) posédant une singularité isolée en 0. Si \(Q\) est une \({\mathcal F}\)-fonction de Morse sur \(U\), alors il existe \(R>0\) tel que pour tous \(r,r'<R\), les feuilletages \({\mathcal F}_r\) et \({\mathcal F}_{r'}\) induits par \({\mathcal F}\) sur les ouverts \(\{Q<r\}\) et \(\{Q<r'\}\) sont topologiquement conjugués. Plus précisement, la conjugaison est de classe \(C^\infty\) sur \(\{Q< r\}\smallsetminus \{0\}\) et continue en 0.'' Enfin, l'auteur décrit un exemple.
scientific article; zbMATH DE number 1199196