Structure locale et globale des feuilletages de Rolle, un théorème de fibration. (Local and global structure of Rolle foliations, a fibration theorem)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Structure locale et globale des feuilletages de Rolle, un théorème de fibration. (Local and global structure of Rolle foliations, a fibration theorem)
zbMATH Open document ID: 0901.57029
publication date: 1998-09-14T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/75293
review text: L'auteur étudie la structure locale et globale des feuilletages de Rolle. Un feuilletage transversalement orienté \({\mathcal F}\) de codimension 1 sur une variété \(M\) connexe orientée est dit de Rolle si toute courbe transverse à \({\mathcal F}\) coupe au plus une fois chaque feuille. Cet travail fournit des résultats remarquables sur le sujet. Une fonction \(Q\) de \(M\) dans \(\mathbb{R}^+\) est tapissante adaptée à \({\mathcal F}\) si elle est propre et possède un nombre fini de valeurs critiques qui vérifie certaines propriétés ``de finitude''. À l'aide de ces notions on montre que \(M\) se décompose en une union finie de feuilles et d'ouverts saturés sur lesquels \({\mathcal F}\) a une structure de produit. Théorème 1. ``Soit \(M\) une variété différentiable de classe \(C^\infty\) orientée et \({\mathcal F}\) une feuilletage de Rolle transversalement orientable sur \(M\) possédant un fonction tapissante adaptée. Il existe un nombre fini de feuilles \(F_1,\dots, F_p\) telles que chaque composante connexe \(V\) du complémentaire \(M\smallsetminus (F_1\cup\dots\cup F_p)\) est le saturé d'une courbe \(\gamma\) de classe \(C^\infty\) et la projection \(p_\gamma\) de \(\text{Sat} (\gamma)=V\) sur \(\gamma\) est une \(C^\infty\)-fibration triviale.'' L'auteur étudie ensuite les feuilletages analytiques de Rolle au voisinage d'une singularité isolée. Théorème 2. ``Soit \(\underline{\mathcal F}= ({\mathcal F}, \{0\})\) un feuilletage analytique de Rolle sur un voisinage connexe \(U\) de l'origine 0 de \(\mathbb{R}^n\) posédant une singularité isolée en 0. Si \(Q\) est une \({\mathcal F}\)-fonction de Morse sur \(U\), alors il existe \(R>0\) tel que pour tous \(r,r'<R\), les feuilletages \({\mathcal F}_r\) et \({\mathcal F}_{r'}\) induits par \({\mathcal F}\) sur les ouverts \(\{Q<r\}\) et \(\{Q<r'\}\) sont topologiquement conjugués. Plus précisement, la conjugaison est de classe \(C^\infty\) sur \(\{Q< r\}\smallsetminus \{0\}\) et continue en 0.'' Enfin, l'auteur déc…
Mathematics Subject Classification ID: 57R30
Mathematics Subject Classification ID: 37C85
Mathematics Subject Classification ID: 14P15
zbMATH DE Number: 1199196
zbMATH Keywords: Rolle foliation
zbMATH Keywords: Morse function
author: Frédéric Chazal
reviewed by: Costache Apreutesei
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2320171725
cites work: Semianalytic and subanalytic sets
cites work: Q4862188
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cites work: Reduction of Singularities of the Differential Equation Ady = Bdx
cites work: Généralisation de la théorie de Morse aux variétés feuilletees
DOI: 10.5802/AIF.1629
published in: Annales de l’institut Fourier
description: scientific article; zbMATH DE number 1199196