An efficient and novel numerical method for quasiconformal mappings of doubly connected domains
type: Item
instance of: scholarly article
title: An efficient and novel numerical method for quasiconformal mappings of doubly connected domains
zbMATH Open document ID: 0931.30010
DOI: 10.1023/A:1019169431757
published in: Numerical Algorithms
publication date: 1999-03-10T00:00:00Z
review text: Die Autoren schlagen einen Algorithmus zur Konstruktion einer quasikonformalen Abbildung \(z= z(\zeta)\) eines gegebenen zweifach zusammenhängenden Gebietes \(G\) auf einen Kreisring \(\Omega_R= \{z: R<|z|<1\}\) vor, wobei hier auch der innere Radius \(R\) bestimmt werden muß. Die Umkehrabbildung \(\zeta= \zeta(z)\) soll dabei in \(\Omega_R\) die Gleichung \(\zeta_{\overline{z}}(z)= \lambda(z) \zeta_z(z)\) erfüllen, wobei die Funktion \(\lambda= \lambda(z)\) mit \(|\lambda(z) |\leq q= \text{const}<1\) in \(z:|z|<1\}\) gegeben ist. Mittels \(\zeta(z)= z\exp [w(z)]\) wird eine neue Funktion \(w\) eingeführt und die Differentialgleichung für \(\zeta\) wird unter Benutzung der zweidimensionalen Hilbert-Transformation auf ein Fixpunktproblem für \(w_{\overline{z}}(z)\) in \(\Omega_R\) reduziert. Bei dem numerischen Algorithmus sind zwei Iterationen zu unterscheiden: Eine innere Iteration löst das obige Fixpunktproblem bei gegebenen, i.a. aber unexakten Randwerten und einem ebenfalls unexakten Radius \(R\). Anstelle von \(w\) wird so eine Funktion \(W= W(z)\) approximiert. Die äußere Iteration sorgt nach abgeschlossener innerer Iteration für die Verbesserung der Randwerte und des Radius \(R\), so daß die innere Iteration wieder beginnen kann. An die Lösung \(W= W(z)\) werden Randbedingungen für \(\text{Re }W\) gestellt, die mit den Randeigenschaften von \(\zeta\) verträglich sind und die dann in den Algorithmus als Randbedingungen an eine additive analytische Funktion \(g= g(z)\) eingehen. Hier scheint unklar, ob \(g\) in \(\Omega_R\) eindeutig ist. Ebenso fehlt eine Charakterisierung von \(W\) bei ``falschen'' Randwerten und ``falschem'' \(R\). Der Imaginärteil von \(W\) liefert zusammen mit den Parameterdarstellungen von \(\partial G\) die verbesserten Randwerte für den nächsten Iterationsschritt. Die Korrektur von \(R\) wird mit Hilfe des Bisektionsverfahrens -- angewandt auf eine skalare Gleichung, in die außer \(R\) noch die bisherigen und die verbesserten Randwerte …
reviewed by: Erich Hoy
Mathematics Subject Classification ID: 30C62
Mathematics Subject Classification ID: 65E05
Mathematics Subject Classification ID: 65Y99
zbMATH DE Number: 1241257
zbMATH Keywords: Beltrami equation
zbMATH Keywords: doubly connected domain
zbMATH Keywords: fast algorithm
author: Prabir Daripa
author: D. S. Mashat
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: a:1019169431757
OpenAlex ID: W2120422176
description: scientific article; zbMATH DE number 1241257