An efficient and novel numerical method for quasiconformal mappings of doubly connected domains
Die Autoren schlagen einen Algorithmus zur Konstruktion einer quasikonformalen Abbildung \(z= z(\zeta)\) eines gegebenen zweifach zusammenhängenden Gebietes \(G\) auf einen Kreisring \(\Omega_R= \{z: R<|z|<1\}\) vor, wobei hier auch der innere Radius \(R\) bestimmt werden muß. Die Umkehrabbildung \(\zeta= \zeta(z)\) soll dabei in \(\Omega_R\) die Gleichung \(\zeta_{\overline{z}}(z)= \lambda(z) \zeta_z(z)\) erfüllen, wobei die Funktion \(\lambda= \lambda(z)\) mit \(|\lambda(z) |\leq q= \text{const}<1\) in \(z:|z|<1\}\) gegeben ist. Mittels \(\zeta(z)= z\exp [w(z)]\) wird eine neue Funktion \(w\) eingeführt und die Differentialgleichung für \(\zeta\) wird unter Benutzung der zweidimensionalen Hilbert-Transformation auf ein Fixpunktproblem für \(w_{\overline{z}}(z)\) in \(\Omega_R\) reduziert. Bei dem numerischen Algorithmus sind zwei Iterationen zu unterscheiden: Eine innere Iteration löst das obige Fixpunktproblem bei gegebenen, i.a. aber unexakten Randwerten und einem ebenfalls unexakten Radius \(R\). Anstelle von \(w\) wird so eine Funktion \(W= W(z)\) approximiert. Die äußere Iteration sorgt nach abgeschlossener innerer Iteration für die Verbesserung der Randwerte und des Radius \(R\), so daß die innere Iteration wieder beginnen kann. An die Lösung \(W= W(z)\) werden Randbedingungen für \(\text{Re }W\) gestellt, die mit den Randeigenschaften von \(\zeta\) verträglich sind und die dann in den Algorithmus als Randbedingungen an eine additive analytische Funktion \(g= g(z)\) eingehen. Hier scheint unklar, ob \(g\) in \(\Omega_R\) eindeutig ist. Ebenso fehlt eine Charakterisierung von \(W\) bei ``falschen'' Randwerten und ``falschem'' \(R\). Der Imaginärteil von \(W\) liefert zusammen mit den Parameterdarstellungen von \(\partial G\) die verbesserten Randwerte für den nächsten Iterationsschritt. Die Korrektur von \(R\) wird mit Hilfe des Bisektionsverfahrens -- angewandt auf eine skalare Gleichung, in die außer \(R\) noch die bisherigen und die verbesserten Randwerte für \(\text{Re }W\) einfließen, -- durchgeführt. An zwölf Beispielen wird die Konvergenz des Verfahrens demonstriert, d. h., die Werte der Funktionen \(W\) auf dem benutzten Gitter wie auch die Radien \(R\) nähern sich im Rahmen der geforderten Genauigkeit recht bald festen Größen. Als sehr nützlich für die innere Iteration erweist sich die schnelle numerische Berechnung der nötigen Integraloperatoren. Auf Beweise wird in dieser Arbeit weitgehend verzichtet. Insbesondere müßte die Konvergenz der äußeren Iteration gezeigt werden. Wünschenswert wären auch Abschätzungen für den exakten Radius \(R\), die die numerisch bestimmten Werte bestätigen.
scientific article; zbMATH DE number 1241257