On the irrationality of \(\sum \frac{t^n} {A\alpha^n+ B\beta^n}\)
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the irrationality of \(\sum \frac{t^n} {A\alpha^n+ B\beta^n}\)
zbMATH Open document ID: 0920.11044
published in: Journal of Number Theory
publication date: 1999-06-21T00:00:00Z
review text: Zunächst untersucht Verf. sehr detailliert die analytischen Eigenschaften der Padé-Approximationen der durch die Potenzreihe \(\sum_{n\geq 0} t^n/w_n\) (im Titel) definierten, in \(\mathbb C\) meromorphen Funktion \(f(t)\), wobei die Folge \((w_n)\) einer binären linearen Rekurrenz des Typs \(w_{n+1} = sw_n-pw_{n-1}\) für \(n=0,1,\ldots\) genügt mit gegebenen \(w_{-1}, w_0, s, p\in{\mathbb C}\), so daß kein \(w_n\) mit \(n\geq 0\) verschwindet und daß die Wurzeln \(\alpha, \beta\) des zugehörigen charakteristischen Polynoms \(X^2-sX+p\) der Ungleichung \(| \alpha| > | \beta| \) genügen. Im zweiten, dem arithmetischen Teil der Arbeit wird vorausgesetzt, \(K\) sei entweder \(\mathbb Q\) oder ein imaginär-quadratischer Zahlkörper und \(R\) sei der Ganzheitsring von \(K\). Als Hauptergebnis wird dann \(f(t)\not\in K\) für alle \(t\in K^\times\) mit \(t\not=\alpha(\alpha/\beta)^j\) für \(j=0,1,\ldots\) bewiesen, wenn es unter der Zusatzvoraussetzung \(w_{-1}, w_0, s, p\in R\) zu jedem \(m\in{\mathbb N}_0\) ein gemeinsames Vielfaches \(d_m\in R\setminus\{0\}\) von \(w_0,\ldots,w_m\) gibt derart, daß \(\rho_m := d_m/(w_0\cdots w_m)\) der Bedingung \((\ast)\): \(\limsup| \rho_m| ^{m^{-2}} < | p| ^{-1}\) genügt. Dies Resultat ist weit schärfer als das entsprechende bei \textit{R. André-Jeannin} [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 308, 539-541 (1989; Zbl 0682.10025)], wo \(w_{-1}, w_0, s, p\) aus \(\mathbb Z\) waren, ebenso \(t\in\mathbb Z\) mit \( 0 < | t| < | \alpha| \). Verschiedene Anwendungen betreffen die beiden klassischen Fälle \(w_n\) gleich \(\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}\) bzw. \(\alpha^n+\beta^n\). Gesondert hervorgehoben wird sodann noch der Fall \(| p| = 1 \;\Leftrightarrow \;| \beta| = | \alpha| ^{-1}\), der die Reihe \(\sum t^n/F_n\) umfaßt, \((F_n)\) die Fibonacci-Folge \(1,1,2,3,5,\ldots\) Die Arbeit schließt mit Irrationalitätsmaßen für die Reihen \(\sum t^n/w_n\) unter einer gegenüber \((\ast)\) etwas stärkeren Voraussetzung.
reviewed by: Peter Bundschuh
Mathematics Subject Classification ID: 11J72
Mathematics Subject Classification ID: 11J82
Mathematics Subject Classification ID: 41A21
zbMATH DE Number: 1247916
zbMATH Keywords: irrationality
zbMATH Keywords: Padé approximation
zbMATH Keywords: meromorphic functions
zbMATH Keywords: binary linear recurring sequence
zbMATH Keywords: imaginary quadratic number fields
zbMATH Keywords: measures of irrational
author: M. Prevost
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: jnth.1998.2304
OpenAlex ID: W2050706497
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DOI: 10.1006/JNTH.1998.2304
description: scientific article; zbMATH DE number 1247916