On Dirichlet series related to certain cusp forms
Es sei \(F\) eine primitive Spitzenform vom Gewicht \(\kappa\) in bezug auf die Modulgruppe \(SL(2,\mathbb{Z})\). Mit den Koeffizienten \(c(m)\) \((m\in\mathbb{N})\) der Fourierentwicklung von \(F\) werde \(g(m)=| c(m)| m^{(1-\kappa)/2}\) und \(\varphi(s)= \sum_{m=1}^\infty c(m) m^{-2}\) gesetzt. Es existiere ein \(\eta>0\), so daß \(\sum_{g(p)<\eta} p^{-\delta}\) für alle \(\delta>1/2\) konvergiert. Dabei bezeichnet \(p\) eine beliebige Primzahl. Es sei \({\mathbf H}\) der Raum der in \(\text{Re}(s)> \kappa/2\) analytischen Funktionen, der mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Mengen versehen ist. \({\mathbf B}\) sei die Klasse der Borelschen Mengen von \({\mathbf H}\). Auf \(({\mathbf H},{\mathbf B})\) wird durch \[ P_T(A):= T^{-1}\text{mes} \{\tau\in [0,T]: \varphi(s+i\tau)\in A\} \quad(A\in{\mathbf B}) \] für \(T>0\) ein Wahrscheinlichkeitsmaß \(P_T\) definiert, wobei \(\text{mes }M\) das Lebesguemaß einer Lebesgue meßbaren Menge \(M\subset \mathbb{R}\) bezeichnet. Die Verff. konstruieren ein Wahrscheinlichkeitsmaß \(P\), so daß \(P_T\) schwach gegen \(P\) für \(T\to\infty\) konvergiert [vgl. \textit{A. Laurinčikas}, Limit theorems for the Riemann zeta function, Mathematics and its Applications 352, Kluwer, Dordrecht (1996; Zbl 0845.11002)]. Daraus leiten sie die folgende Universalität von \(F\) her: Es sei \(K\) eine kompakte Teilmenge von \(\{s\in \mathbb{C}: \kappa/2< \text{Re}(s)< (\kappa+1)/2\}\) mit zusammenhängendem Komplement. \(f\) sei eine auf \(K\) stetige Funktion \(\neq 0\), die im Innern von \(K\) analytisch ist. Dann gilt für alle \(\varepsilon >0\) \[ \liminf_{T\to\infty} T^{-1} \text{mes} \{\tau\in [0,T]: \sup_{s\in K}| \varphi(s+i\tau)- f(s)|< \varepsilon\}>0. \]
scientific article; zbMATH DE number 1262934
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