On the Lerch zeta-function with rational parameters
Für \(s\in\mathbb{C}\) mit \(\text{Re}(s)>1\) und \(\alpha\), \(\lambda\in\mathbb{R}\) mit \(0<\alpha\leq 1\) wird bekanntlich die Lerchsche Zetafunktion durch \[ L(\lambda,\alpha,s)=\sum^\infty_{m=0}e(\lambda m)(m+\alpha)^{-s},\quad e(x):=e^2\pi ix \] definiert. Es sei \(\mathbf H\) der Raum der in \(\text{Re}(s)>1/2\) analytischen Funktionen, der mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Mengen versehen ist. \({\mathbf B}\) sei die Klasse der Borelschen Mengen von \(\mathbf H\). Auf \((\mathbf H,{\mathbf B})\) wird durch \[ P_T(A):=T^{-1}\text{mes}\bigl\{\tau\in[0,T]:L(\lambda,\alpha,s+i\tau)\in A\bigr\}\quad\text{für}\quad T>0,\;A\in{\mathbf B} \] ein Wahrscheinlichkeitsmaß eingeführt, wobei \(\text{mes} M\) das Lebesguemaß einer Lebesgue-meßbaren Menge \(M\subset\mathbb{R}\) bezeichnet. Dazu konstruiert der Verf. ein Wahrscheinlichkeitsmaß \(P\), so dass \(P_T\) schwach gegen \(P\) für \(T\to\infty\) konvergiert [vgl. \textit{A. Laurinčikas}, Limit theorems for the Riemann zeta-function (Kluwer Academic Publishers, Vol. 352) (1996; Zbl 0845.11002)]. Ferner beweist er die Universalität der Lerchschen Zetafunction mit dem folgenden Satz. Es sei \(1\leq l<r\), \((l,r)=1\), \(1\leq a\leq q\), \((a,q)=1\) und \(k=rq\). Es möge zwei primitive Charaktere \(\chi_1,\chi_2\bmod k\) existieren, so dass \[ \sum_{1\leq m\leq k\atop m\equiv a(q)}e(lm/k)\overline\chi_j(m)\neq 0\quad\text{für}\quad j=1,2 \] gilt. Für ein \(R\) mit \(0<R<1/4\) sei \(f(s)\) eine in \(|s|\leq R\) stetige, in \(|s|<R\) analytische Funktion. Dann gilt für alle \(\varepsilon>0\) \[ \liminf_{T\to\infty}T^{-1}\text{mes}\biggl\{\tau\in[0,T]:\max_{|s|\leq R}\bigl|q^{-s-3/4-i\tau}L(l/r,a/q,s+3/4+i\tau)-f(s)\bigr|<\varepsilon\biggr\}>0. \]
scientific article; zbMATH DE number 1262936