Joint value-distribution theorems for the Lerch zeta-functions
Für reelle \(\lambda,\alpha\) mit \(0<\lambda< 1\), \(0< \alpha\leq 1\) sei \(L(\lambda, \alpha,s)\) \((s\in \mathbb{C})\) die Lerchsche Zetafunktion. \(B(S)\) sei die Klasse der Borelschen Mengen von \(S\). \(H\) sei der Raum der in \(\operatorname {Re}(s)> \frac 12\) analytischen Funktionen, der mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Mengen versehen ist. Für eine Lebesgue-meßbare Menge \(M\subset \mathbb{R}\) sei \(\operatorname {mes}M\) das Lebesguemaß von \(M\). Die Autoren beweisen als Verallgemeinerung einiger Resultate von \textit{R. Garunkštis} und \textit{A. Laurinčikas} [Lith. Math. J. 36, 337-346 (1996; Zbl 0902.11035)] die folgenden Sätze. Satz 1. Es sei \(0< \lambda_j< 1\), \(0< \alpha_j\leq 1\) und \(\sigma_j> \frac 12\) für \(j=1,\dots, n\). Dann existiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß \(P\) auf \((\mathbb{C}^n, B(\mathbb{C}^n))\), so daß \[ T^{-1} \operatorname {mes} \{\tau\in [0,T]: (L(\lambda_j, \alpha_j, \sigma_j+ i\tau))_{t\leq j\leq n}\in A\} \qquad (A\in b(\mathbb{C}^n)) \] schwach gegen \(P\) für \(T\to\infty\) konvergiert. Satz 2. Es sei \(0< \alpha_j< 1\) und \(\alpha_j\) transzendent für \(j=1,\dots, n\) oder \(0< \alpha_j\leq 1\) und \(\alpha_j\) rational für \(j=1,\dots, n\). Dann läßt sich ein Wahrscheinlichkeitsmaß \(Q\) konstruieren, so daß \[ T^{-1} \operatorname {mes} \{\tau\in [0,t]: (L(\lambda_j, \alpha_j, s+i\tau))_{1\leq j\leq n}\in A\} \qquad (A\in B(H^n(D))) \] schwach gegen \(Q\) für \(T\to \infty\) konvergiert.
scientific article; zbMATH DE number 1274174