On the zeros of \(L\)-functions on function fields
A la différence du cas des corps de nombres, on sait prouver depuis les travaux de Grothendieck et de Deligne que les fonctions \(L\) de courbes elliptiques sur les corps de fonctions possédent des propriétés extrêmement agréables: prolongement analytique, hypothèse de Riemann (alors que pour leurs analogues sur les corps de nombres, on ne dispose bien souvent que de conjectures) il est tentant de pousser plus loin et d'essayer d'étudier les propriétés ``fines'' des ces fonctions \(L\). Dans cet article nous nous intéressons à la distribution des zéros de la fonction \(L(s,E)\) d'une courbe elliptique \(E\) définie sur \(\mathbb{F}_q(X)\) non géométriquement triviale: nous montrons que quand \(n_E\) le degré du conducteur de \(E\) croit, les zéros de \(L(s,E)\) (après une normalisation convenable) ont tendance à devenir uniformement distribués sur le cercle unité avec une discrépance en \(O(\log^{-1} n_E)\). Il semble que l'on soit loin de la vérité (on s'attendrait plutôt à ce que la discrépance soit en \(O(n_E^{\varepsilon-1}))\). Inspirés par des travaux antérieurs de Brumer, Fouvry-Pomykala et l'auteur, nous considérons le problème en moyenne pour une de courbes elliptiques et obtenons ``presque surement'' une discrépance en \(O(n_E^{\varepsilon-1})\).
scientific article; zbMATH DE number 1336986