Non-periodic normal subgroups and projectivities
type: Item
instance of: scholarly article
title: Non-periodic normal subgroups and projectivities
zbMATH Open document ID: 0815.20018
DOI: 10.1007/BF01201447
author: Giorgio Busetto
author: Franco Napolitani
published in: Archiv der Mathematik
publication date: 1994-02-09T00:00:00Z
review text: Die Verf. betrachten das Bild eines Normalteilers \(N\) einer Gruppe \(G\) unter einer Projektivität \(\varphi\) von \(G\) auf eine Gruppe \(\overline{G}\) und interessieren sich vor allem für die Struktur von \(H/K\) und \(G/K\), wobei \(H^ \varphi\) die normale Hülle und \(K^ \varphi\) das Herz von \(N \varphi\) in \(\overline{G}\) ist. Dabei können sie sich nach bekannten Resultaten auf den Fall beschränken, daß \(N^ \varphi\) permutabel in \(\overline{G}\) und \(K = 1\) ist. Hauptergebnis ihrer Arbeit ist, daß in diesem Fall entweder \(N\) torsionsfrei abelsch vom Rang 1 ist (und dann ferner gilt: \(N \leq Z(G)\), \(H = N \times T \leq Z_ \infty(G)\) mit abelscher Torsionsgruppe \(T\), deren Primärkomponenten von unendlichem Exponenten in \(Z(G)\) liegen) oder \(N\) eine Torsionsgruppe und \(H\) \(p\)-abgeschlossen ist mit nilpotenter \(p\)-Komponente \(H_ p\) von endlichem Exponenten für jede Primzahl \(p\). Im ersten Fall zeigen sie ferner, daß für alle Untergruppen \(X\) von \(G\) mit \(N \leq X \leq H\) das Bild \(X^ \varphi\) Produkt von Konjugierten von \(N^ \varphi\) ist; im zweiten Fall gilt das für die \(X\) mit \(N \leq X \leq H_ p\) falls \(p > 2\) und \(H_ p/N\) nicht abelsch ist. Insbesondere sind solche Untergruppen \(X\) und \(X^ \varphi\) permutabel in \(G\) bzw. \(\overline{G}\), und somit ist \(H_ p/N\) für jedes \(p > 2\) eine Gruppe mit modularem Untergruppenverband.
Mathematics Subject Classification ID: 20E15
Mathematics Subject Classification ID: 20E34
zbMATH DE Number: 493392
zbMATH Keywords: modular groups
zbMATH Keywords: projectivity
zbMATH Keywords: normal subgroups
zbMATH Keywords: permutable subgroups
zbMATH Keywords: subgroup lattices
reviewed by: Roland Schmidt
MaRDI profile type: Publication
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full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf01201447
OpenAlex ID: W2022965327
description: scientific article; zbMATH DE number 493392