An asymptotic formula for the minimal capacity among sets of equal area
Ein Problem der optimalen Form und Lage einer Röhre führt auf folgendes zweidimensionales freies Randwertproblem: Gegeben sei ein einfach zusammenhängendes Gebiet \(\Omega\). Entfernt man aus \(\Omega\) ein einfach zusammenhängendes Teilgebiet (``Loch'') \(A\) \((\overline A\subset \Omega)\), so entsteht ein zweifach zusammenhängendes Gebiet \(\Omega\backslash \overline A\). Unter allen Löchern \(A\) von gegebenen Flächeninhalt \(| A|\) werden die ``optimalen'' gesucht, welche den Modul \(\mu(\Omega\backslash\overline A)\) maximieren: die Kapazität \(1/\mu\) (bzw. der Wärmefluß) wird minimiert. Diese Aufgabe entspricht einem Bernoullischen freien Randwertproblem. In dieser Arbeit wird einerseits die Existenz eines optimalen Loches sichergestellt, andererseits der Grenzfall \(| A|\to 0\) eingehend untersucht. Dabei konzentrieren sich die optimalen Löcher und werden asymptotisch zu kleinen Kreisen um ein ``konformes Zentrum'' von \(\Omega\) (wo der Abbildungsradius sein Maximum erreicht). Es bleibt die Aufgabe, die konformen Zentren von \(\Omega\) zu bestimmen. Ist \(\Omega\) ein Polygon, so wird auf ein Computer-Programm von Trefethen hingewiesen. Die Sätze sind qualitativ anschaulich, aber keineswegs einfach zu beweisen.
scientific article; zbMATH DE number 509970
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