Surfaces with prescribed curvature. I
Das interaktive Flächendesign bedient sich u.a. der gezielten Modifikation von Flächen, um Flächen mit vorgeschriebenen Krümmungen (mittlere oder Gaußsche Krümmung, Normalkrümmung oder andere Krümmungen) zu erzeugen. Dabei besteht der Wunsch, sowohl beliebig große Modifikationen als auch scharf lokalisierte Modifikationen zu beherrschen. Zur Lösung dieser Probleme wird einer Fläche \(\Phi \subset\mathbb{R}^ 3\) mit dem Ortsvektor \(\vec r(u,v)\) die modifizierte Fläche \(\Phi_ 0 \subset\mathbb{R}^ 3\) mit dem Ortsvektor \(\vec s(u,v) = \vec r(u,v) + h(u,v) \vec d(u,v)\) zugeordnet. Dabei ist \(h(u,v)\) eine Skalarfunktion und \(\vec d(u,v)\) mit \(| \vec d |=1\) eine Vektorfunktion (die ``Modifikationsrichtung'') über dem Definitionsgebiet von \(\Phi\). Unter der Annahme eines konstanten Vektors \(\vec d\) werden für die Fläche \(\Phi_ 0\) die mittlere Krümmung \(H_ 0\), die Gaußsche Krümmung \(K_ 0\) und die Normalkrümmung \(k_ 0\) bezüglich eines Tangentialvektorfeldes auf \(\Phi_ 0\) in Abhängigkeit von \(h(u,v)\) berechnet. Sind \(H_ 0\), \(K_ 0\) oder \(k_ 0\) vorgegeben, so stellen sich für \(h(u,v)\) nichtlineare partielle Differentialgleichungen ein. Die zugehörigen Existenzsätze, die Lösungen garantieren, werden kurz betrachtet. Die Modifikationsrichtung \(\vec d\) und ein auf \(\Phi_ 0\) benötigtes Tangentialvektorfeld sind vom Anwender zu wählen; dafür wird eine natürliche Prozedur vorgeschlagen. Auch die im interaktiven Flächendesign wichtige Konstruktion von Lösungen partieller Differentialgleichungen, deren Existenz gesichert ist, wird für vorgegebene mittlere oder Gaußsche Krümmung beschrieben. Ein praktisches Beispiel rundet die Arbeit ab. Zwei Anhänge enthalten funktionalanalytische Hilfsmittel und Hilfsaussagen über partielle Differentialgleichungen.
scientific article; zbMATH DE number 516614
scientific article